第四章答案

南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..第四章根轨迹分析法习题4-2单位回馈控制系统的开环传递函数1)(sKsGr，试用解析法绘出rK从零变化到无穷时的闭环根轨迹图，并判断-2,j1,(-3+j2)是否在根轨迹上。解：1-s01s0r时，K2-s02s1r时，K3-s03s2r时，K……-2在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。4-3反馈控制系统的开环传递函数如下，0rK，试画出各系统的根轨迹图。(2))4)(1()5.1()(ssssKsGr(3)2)1()(ssKsGr，解：（2）1）开环零、极点：p1=0，p2=-1,p3=-4,z=-1.0，n=3，m=12）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4）3）根轨迹的渐近线：902)12(,75.12)5.1(410)2(mnkaa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点6.05.1141111ddddd试探法求得（3）1）开环零、极点：p1=0，p2,3=-1，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞）3）根轨迹的渐近线：j03-1-2-j04-1.5-1-0.6-1.75-南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..180,603)12(,323110)3(mnkaa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点310121ddd5）与虚轴交点：02r23Ksss4-5系统的开环传递函数为)1()2()(sssKsGr，(1)画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；(2)当增益rK为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。解：（1）1）开环零、极点：p1=0，p2=-1z=-2，n=2，m=12）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-2，-∞）3）分离点和会合点414.3,586.02111121ddddd可以证明该根轨迹是一个半径为1.414，原点在-2处的标准圆（2）系统特征方程为02)1(rr2KsKs2j2322122,1rrsKKab，，得：由j031-1-32-11-0123ssssr2Kr211KrKj,202rrsKKj01-3.414-0.586-2-南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..4-6单位反馈系统的前向通道传递函数为)3)(1()(sssKsGr，为使主导极点具有阻尼比5.0，试确定rK的值。解：系统的根轨迹如图:d=-0.45在根轨迹图上作射线:β=±60º与根轨迹相交点为s1和s2设相应两个复数闭环极点分别为：nnjs866.05.01nnjs866.05.02则闭环特征方程式可表示为0)()())()((2332233321nnnnssssssssssss0Ks3s4sr23系统特征方程为比较系数，得：r2332334Ksssnnnn828.125.375.0r3Ksn4-7控制系统的开环传递函数为)4)(2()(sssKsGr(1)绘出该反馈系统的根轨迹图；(2)求系统具有阻尼振荡响应的rK取值范围；(3)系统稳定的rK最大为多少？并求等幅振荡的频率；(4)求使主导极点具有阻尼比5.0时的rK值，并求对应该值时，零极点形式的闭环传递函数。解：（1）1）开环零、极点：p1=0，p2=-2，p3=-4，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-2），（-4，-∞）3）根轨迹的渐近线：j00.45-3-2s1-1s南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..180,603)12(,23420)3(mnkaa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点)(732.4,845.004121121舍ddddd分离点对应的08.3155.3155.1845.0rK5）与虚轴交点：086r23Ksss（2）系统具有阻尼振荡响应的rK取值范围是：4808.3rK（3）系统稳定的48rK，等幅振荡频率为22（4）同上题方法可求得：阻尼比5.0时j1.1567.0,67.4,3.82,13ssKr)15.1j67.0)(15.1j67.0)(67.4(3.8)(ssss4-8单位负反馈系统的开环传递函数为)15.0)(1()(sssKsGr，用根轨迹分析系统的稳定性。解：1）开环零、极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-2，-∞）3）根轨迹的渐近线：0123ssssr84Kr681KrK2j2,48084rrsKKj00.845-4-222-22南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..180,603)12(,13210)3(mnkaa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点)(644.1,356.002111121舍ddddd5）与虚轴交点：0223r23Ksss所以，系统稳定的rK取值范围是：30rK4-9单位负反馈系统的开环传递函数为)02.01)(01.01()(sssKsGr(1)画出系统的根轨迹图；(2)确定系统临界稳定时的开环增益；(3)确定与临界阻尼比相应的开环增益。解：（1）)50s)(100s(sK5000)s(Gr①实轴上的根轨迹：[0,-50],[-100,-]②分离点：0100d150d1d1求解得87.78d13.21d21，③渐近线：ooaa1806050，，0123ssssr26Kr2321Kr2Kj,30262,1rrsKKj00.356-2-1-1-1南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..根轨迹如图所示。(2)系统临界稳定时150K750000Kr，(3)系统临界阻尼比时62.9K5.48112Kr，4-10系统的开环传递函数为32)2()(2sssKsGr，试绘制系统在rK0时的根轨迹，并确定系统临界阻尼时的rK值。解：1）开环零、极点：2,2j12,1zp，n=2，m=12）实轴上根轨迹段：（-2，-∞）3）分离点和会合点1)(,22)(2)(,32)(2sBssAssBsssA)()()()(sAsBsBsA)22)(2(322sssss1=-3.732，s2=-0.268（舍）此时系统即为临界阻尼情况，对应的46.5732.1732.22732.2222rK4）出射角7.1447.54901804-12系统结构如图所示，试画出反馈系数k为变数的根轨迹。-k110ss1-)(sR)(sC南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..解：)110(10)(KsssG0)110(101)(1KsssG由01010s2sKs则，系统等效开环传递函数1010)(2sskssG1）分离点和会合点1)(,12)()(,10)(2sBssAssBsssA)()()()(sAsBsBsA)12(102sssss1=-3.16，s2=3.16（舍）2）与虚轴无交点：010)110(2sks3）09.1891.99901804-14系统结构如图所示，闭环根轨迹通过(-0.65+j1.07)点，试绘制rK从0变化时系统的根轨迹。解：)2)(1()1(10)(1ssssTKsG系统特征方程为：0)1(10)2)(1(1sTKsss将s=-0.65+j1.07代入上式，可得：667.0,266.01TK)2)(1()5.1(67.6)(ssssKsG)2)(1()5.1(ssssKr1）根轨迹的渐近线：南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..902)12(,75.025.1210)2(mnkaa夹角交点条渐近线2）分离点和会合点54.05.1121111ddddd试探法求得：5）与虚轴交点：0.5123rr23KsKss）（所以，与虚轴无交点。4-16单位反馈系统的闭环特征方程为04)1(223rrKsKss。试绘制系统的根轨迹，并求闭环出现重根时的rK值和对应的闭环根。解：由系统特征方程可得系统等效开环传递函数2)1()4()(sssKsGr1）根轨迹的渐近线：902)12(,124110)2(mnkaa夹角交点条渐近线2）与虚轴交点：04)1(223rrKsKss0123ssssr.516Krr1.5321KKr2K0123ssssrrKK42110)1(2rKrK4j00.354-4-1-221j00.54-2-1-1.5-南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..3）分离点和会合点：354.041121dddd求得：分离点对应的04.0646.3646.0646.0354.0rK此时特征方程可写为：0)354.0)((23sss与题目已知系统特征方程对比可得292.13s4-17控制系统结构如图所示，0rK，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。解：)1()3)(2()(ssssKsGr1）分离点和会合点：336.2,634.0312111121dddddd求得：此时0718.0366.2366.1366.0634.0r1K93.13366.0634.0336.2336.1r2K增益对系统阻尼特性的影响：0rK时系统都是稳定的；0718.00rK时，系统是过阻尼系统；2,1jsKrj01-2.336-0.634-2-3-南京航空航太大學金城學院《控制系統工程》（《自控》48學時）習題冊班級………..…………….學號……….……………..姓名……………………..93.130718.0rK时，系统是欠阻尼系统；93.13rK时，系统又变成过阻尼系统。