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12lldxxYxmtdxvxmT022202)()()(cos21)(21§10-6近似法求自振频率1、能量法求第一频率——Rayleigh法根据能量守恒定律,当不考虑阻尼自由振动时,振动体系在任何时刻的动能T和应变能U之和应等于常数。※根据简谐振动的特点可知:在体系通过静力平衡位置的瞬间,速度最大(动能具有最大值),动位移为零(应变能为零);当体系达到最大振幅的瞬间(变形能最大),速度为零(动能为零)。对这两个特定时刻,根据能量守恒定律得:Umax=Tmaxω※求Umax,TmaxlldxxYEItdxxyEIU0220222)]([)(sin2121※求频率如梁上还有集中质量mi,位移幅值)cos()()sin()(),(txYyvtxYtxy设:.ldxxYxmT022max)()(21ldxxYEIU02max)]([21Yi为集中质量mi处的位移幅值。liilYmdxxYmdxxYEI022022)]([)]([22020[()][()]llEIYxdxmYxdx3※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点:1、必须满足运动边界条件:(铰支端:Y=0;固定端:Y=0,Y´=0)尽量满足弯矩边界条件,以减小误差。剪力边界条件可不计。2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近;如正好与第n主振型相似,则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的,只能假定一近似的振型曲线,得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难,计算高频率误差较大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3、相应于第一频率所设的振型曲线,应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小,拐点少。4、通常可取结构在某个静荷载q(x)(如自重)作用下的弹性曲线作为Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q(x)所作的功来代替,即ldxxYxqU0)()(2120202)]([)()(iillYmdxxYmdxxYxq4lldxxYmdxxYEI02022)]([)]([2)假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x))2(24)(323xlxlxEIqxY963031224520202120)()(lmEIlqdxxYmdxxqYEIqllmEIl287.9例12试求等截面简支梁的第一频率。1)假设位移形状函数为抛物线)()(xlxxYlmEIyx满足边界条件且与第一振型相近60/252lmEIl42120lmEImEIl295.103)假设lxaxYsin)(442222324lmEIlamlEIa第一振型的精确解。精确解mEIl28696.95xh0l例求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为1,高度为h=h0x/l。解:单位长度的质量:设位移形状函数:2)1()(lxaxY满足边界条件:0)(,0)(lYlYlldxxYmdxxYEI02022)]([)]([ElhlEh204202581.1,25Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线,迫使梁按照这种假设的形状振动,相当于给梁加上了某种约束,增大了梁的刚度,致使频率偏高。当所设振型越接近于真实,则相当于对体系施加的约束越小,求得的频率越接近于真实,即偏高量越小。30121lxhIlxhm0截面惯性矩:相比误差为3%与精确解Elh20534.161、假设多个近似振型n21,都满足前述两个条件。2、将它们进行线性组合(a1、a2、·········、an是待定常数)nnaaaxY2211)(3、确定待定常数的准则是:获得最佳的线性组合,这样的Y(x)代入频率计算公式中得到的ω2的值虽仍比精确解偏高,但对所有的a1,a2,…,an的可能组合,确实获得了最小的ω2值。所选的a1,a2,…,an使ω2获得最小值的条件是),,2,1(,02niai这是以a1,a2,…,an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零,得到频率方程,可以解出原体系最低n阶频率来。阶次越低往往越准。为了使假设的振型尽可能的接近真实振型,尽可能减小假设振型对体系所附加的约束,Ritz提出了改进方法:8例:用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm解:悬臂梁的位移边界条件为:(在左端)Y’=0Y=032212211xaxaaaY设:只取第一项2121x代入:ljiijljiijdxmmdxEIk00,5,451111lmmEIlk代入频率方程:0][][2mkmEIllmEIlmEIl2142521472.4,20054其精确解:mEIl21516.3与精确解相比,误差为27%。9例:用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm解:32212211xaxaaaY取两项xxx6;2232121代入:ljiijljiijdxmmdxEIk00,7665][,12664][7665322lmlmlmlmmEIlEIlEIlEIlk代入频率方程:求得kij,mij:012766664542424242EIlmEIlmEIlmEIlm求得最初两个频率近似值:mEIlmEIl222181.34533.3(0.48%)(58%)mEIlmEIl222103.22516.3精确解:说明:1)由于φ1、φ2均近似于第一振型,由它们组合的第二振型自然很差,故第二频率不准。2)Rayleigh—Ritz法所得结果仍然偏高,其原因同瑞利法。102、集中质量法在计算无限自由度体系的自振频率时,可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种,最简单的是静力等效的集中质量法。该法既可求基本频率,也可求较高频率。且适用于各类结构。集中质量的数目越多结果越精确,但工作量也就越大。等效原则:使集中后的重力与原重力互为静力等效,即两者的合力相等。作法:将杆分为若干段,将每段质量集中于其质心或集中于两端。lmmEIlmEIlmEIl23222183.88,84.39,87.9:精确解例15试用集中质量法求简支梁自振频率。11lmmEIlmEIlmEIl23222183.88,84.39,87.9:精确解2lml/3l/34lm4lm,80.9:21mEIl解得(-0.7%)l/3l/3l/3l/34lm8lm4lm4lm8lm3lml/3l/3l/36lm6lm3lmmEIlmEIl22212.38,86.9:解得(-0.1%)(-3.1%)mEIlmEIlmEIl2322216.842.39,865.9:解得(-0.05%)(-4.8%)(-0.7%)12一、振型分解法(不计阻尼)运动方程)()()(tPtyktym1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN设1()()NiiiytYDt),2,1(Nj11(())(())()NNiiiiiimYDtkYDtPt11(())(())()NNTTTiijijijiiYmYDtYkYDtYPt()()()TTTjjjjjjjYmYDtYkYDtYPt)()()(***tPtDKtDMjjjjj*jM---j振型广义质量*jK---j振型广义刚度)(*tPj---j振型广义荷载)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系2jjjkYmY2TTjjjjjYkYYmY**2/jjjMK§10-7振型分解法13一.振型分解法(不计阻尼)运动方程)()()(tPtyktym1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN设1()()NiiiytYDt),2,1(Nj)()()(***tPtDKtDMjjjjj*jM---j振型广义质量*jK---j振型广义刚度)(*tPj---j振型广义荷载)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系计算步骤:1.求振型、频率;2.求广义质量、广义荷载;3.求组合系数;4.按下式求位移;1()()NiiiytYDt14例一.求图示体系的稳态振幅.mmm21解:*1112TMYmYm*11sin()()11sin0TPtPtYPtPt计算步骤:1.求振型、频率;2.求广义质量、广义荷载;3.求组合系数;4.按下式求组合系数;1()()NiiiytYDt1m2m)(1tytPsin)(2tyEI3/415.3mlEI3231045.22692.5mlEImlEI111Y211Y*2222TMYmYm*22()()sinTPtYPtPt15例一.求图示体系的稳态振幅.mmm21解:*1112TMYmYmtPtPtPXtPTsin0sin11)()(1*11m2m)(1tytPsin)(2tyEI3/415.3mlEI3231045.22692.5mlEImlEI111Y211Y*2222TMYmYmtPtPXtPTsin)()(2*2*1*11211/)()()(MtPtDtD)(1tD*1MtPsin*1KtEIPlsin10411.232*2*22222/)()()(MtPtDtDtEIPltDsin101054.0)(32211,1()sinstDtDttmPsin/1122221116例一.求图示体系的稳态振幅.mmm21解:1m2m)(1tytPsin)(2tyEI3/415.3mlEI3231045.22692.5mlEImlEI111Y211Y11,1()sinstDtDttmPsin/11222211tEIPlsin10411.232*2*22222/)()()(MtPtDtDtEIPltDsin101054.0)(3221212()ytYDYDtEIPltEIPltytysin101054.011sin10411.211)()(323221tEIPlsin103059.25167.23217例一.求图示体系的稳态振幅.mmm21解:1m2m)(1tytPsin)(2tyEI3/415.3mlEI3231045.22692.5mlEImlEI111Y211Y2211)(DXDXty2211)(DXDXtytEIPltEIPltytysin101054.011sin10411.211)()(323221tEIPlsin103059.25167.232EIPlAA3
本文标题:《结构动力学》PPT课件
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