函数的奇偶性教案

第四课时：函数的奇偶性教学教案山丹一中周相年2014年·考纲1.了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．注意事项：函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对抽象函数的奇偶性的考查力度.一．课本导读1.奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．2.证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．3.奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．二．教材回归1.(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．12.函数f(x)＝1x－x的图像关于()对称．A．y轴B．直线y＝－xC．坐标原点D．直线y＝x3.设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________、4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．三．授人以渔题型一：判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性，并证明．(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝x3＋x＋1；(3)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；(6)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)．(7)f(x)＝loga(x＋x2＋1)．【解析】(3)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(4)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．由1－x2≥0，|x＋2|－2≠0，得－1≤x≤1，x≠0且x≠－4.故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.从而有f(x)＝1－x2x＋2－2＝1－x2x，这时有f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，故f(x)为奇函数(6)已知f(x)的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称．∵f(x)＝(x－1)1＋x1－x＝－1－x1＋x，∴f(－x)＝－1＋x1－x＝f(x)．即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．请学生思考，本题中若将条件x∈(－1,1)去掉还是偶函数吗？探究1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)思考题1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ln2－x2＋x；(2)f(x)＝loga1－x1＋x(3)f(x)＝1ax－1＋12(a0，且a≠1)；(4)f(x)＝x2－2xx≥0，x2＋2xx＜0.【解析】(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－(1ax－1＋12)＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)方法一：f(x)的定义域为R，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)．当x＝0时，f(0)＝0＝f(－0)．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝f(x)．∴对于x∈R总有f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．方法二：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|.当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|.∴f(x)＝x2－2|x|.∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)．∴f(x)为偶函数．题型二：奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为__________________________．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为__________．(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，有f(－0)＝－f(0),∴f(0)＝0.当x＜0时，－x＞0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.∴f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x＜0.(2)∵f(x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，∴f(x)在[－1,0)上也是增函数．∴f(x)在(－1,1)上为增函数．f(x)＋f(x－12)＜0⇔f(x)＜－f(x－12)＝f(12－x)⇔－1＜x＜1，－1＜12－x＜1，x＜12－x⇔－12＜x＜14.∴不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为{x|－12＜x＜14}(3)∵f(x＋1)为偶函数，∴函数g(x)＝f(x＋1)的图像关于直线x＝0对称．又函数f(x)的图像是由函数g(x)＝f(x＋1)的图像向右平移一个单位而得到，∴函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．探究2奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．(2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性思考题2(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)f(a)的实数a的取值范围是________．【解析】若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)f(a)，得aπ，∴0≤a≤π.若a0，∵f(π)＝f(－π),则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于f(－π)f(a)，得到a－π.即－πa0.由上述两种情况知a∈(－π，π)．(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．【解析】∵f(x－2)为奇函数，∴f(x－2)的图像的对称中心为(0,0)．又∵f(x)的图像可由函数f(x－2)的图像向左平移两个单位而得，∴f(x)的图像的对称中心为(－2,0)．四．本课总结：常用结论记心中，快速解题特轻松：1.(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性．(2)若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．2.(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式，则g(x)＝fx－f－x2，h(x)＝fx＋f－x2.(2)若函数y＝f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)＋f(－x)为偶函数，f(x)－f(－x)为奇函数，f(x)·f(－x)为偶函数．五．自助餐：1．(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝ex－e－x2，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R2．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的是()A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))3．已知f(x)为奇函数，当x0，f(x)＝x(1＋x)，那么x0，f(x)等于()A．－x(1－x)B．x(1－x)C．－x(1＋x)D．x(1＋x)4．(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝()A．－5B．－1C．3D．45．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝_______《函数的奇偶性》教学反思一、思效果基本达到教学的目标，从形和数两方面引导，使学生从文字、图形、符号三种数学语言理解了奇偶性的概念,并会利用定义判断简单函数的奇偶性。在奇偶性概念形成过程中,培养了学生的观察、归纳能力,同时渗透数形结合思想、运用符号及变元表示的思想、以及从特殊到一般的数学思想方法。设计情境，让学生感受数学美的同时,激发他们学习的兴趣,培养学生乐于探索的精神。本节课突出了教学重点：函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。利用多种手段，有效的突破了教学难点：对函数奇偶性的概念的理解。二、思成功在教学中，自己对几个地方的处理还是比较满意的。1.设计教学的切入点，激发学生学习的兴趣在现实的教学中，创设学习情境，既复习了初中所学对称图形的有关知识，又使学生对新知充满了好奇。2.重视让学生经历奇偶性概念的形成过程新课程实施要求教师改变传统教学形态，强调教学要师生共同探讨，教师要关注教学和学生学习的过程。认知活动要从重视结果教学向重视教学过程转变。而所谓重过程就是教师在教学中把教学的重点放在教学过程，放在揭示知识形成的规律上，让学生在感知、概括、应用的思维过程中去发现真理，掌握规律。3.利用了函数平台演示系数对函数图象的变化在应届高三的教学中，总有学生对概念理解不清，认为二次函数都是偶函数。所以我想在第一节课时里就让学生能澄清这种错误的认识。这就需要了解，对于一次函数和二次函数，系数对函数图象有哪些影响？哪些系数能影响函数的对称轴或对称中心？利用函数平台依次演示c、b、a对二次函数图象的影响，并渗透：二次函数是偶函数b=0。同样，利用函数平台演示b、k对一次函数图象的影响并渗透：一次函数y=kx+b(k≠0)是奇函数b=0。事实证明，这种处理的效果还是很不错的。三、思不足上完了课，再仔细回味，发现有些地方确实不太满意。首先，对教学过程中学生的参与有所不足：我们的教学要“以学定教”，要保证学生在课堂上有充分的时间参与训练，尽可能的参与教学活动。我也尽可能的朝着这方面努力。现在看来，对于这节课，我觉得学生的参与可以再多些。比如：在判断函数奇偶性上可以在教师的指导下由学生来完成，更能亲身体会出概念的形成过程；还有就是讲完一道题应该有学生总结，这样更能增加他们的成就感，从而调动他们学习的积极性。另外，对教学中师生的互动有所不足：在新课讲授完毕，我问学生对本节课所讲内容有什么疑问，学生互动不足。我本想借此达到两个目的：一个是想了解一下教学的效果，一个是促进师生之间的交流。但结果确是：此环节如同虚设。为什么会这样呢？我所期待的那种师生间的对知识的充分交流的情况并没有出现。我想，这个问题的解决还需