第3节-行列式按行列展开

,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa第三节行列式按行列展开可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。1、行列式按某一行（列）展开问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作nijaij1nija.Mij，记ijjiijMN1叫做元素的代数余子式．ija例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44424134323114121123aaaaaaaaaM2332231MN.23M定义44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MN12M33323123222113121144aaaaaaaaaM444444441MMN注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。三阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即第一张幻灯片D=3,2,13,2,1ji或简写为131312121111NaNaNaD232322222121NaNaNaD333332323131NaNaNaD313121211111NaNaNa323222221212NaNaNa333323231313NaNaNaijijiNa31ijijjNa31引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD.14442412422211412113333aaaaaaaaaa例如ijijNaD证当位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100即有.1111MaD又1111111MN,11M从而.1111NaD在证一般情形,此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100,1,2,1行对调第行第行行依次与第的第把iiiD得nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,11001ijaija,1,2,1对调列第列第列列依次与第的第再把jjjD得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,,11,1,1110011ijannjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,12001nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,1001ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100中的余子式.ijM在余子式仍然是中的在行列式元素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,,11,1,100ijaija故得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,,11,1,1001.1ijijjiMa于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,,11,1,100,ijijMaijaija定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiNaNaNaD2211ni,,2,1证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000njnjjjjjNaNaNaD2211nj,,2,1nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100ininiiiiNaNaNa2211ni,,2,1推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211jiNaNaNajninjiji证行展开，有按第把行列式jaDij)det(.,02211jiNaNaNanjnijiji,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaNaNa,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaNaNa可得换成把),,,1(nkaaikjk行第j行第i,时当ji).(,02211jiNaNaNajninjiji同理).(,02211jiNaNaNanjnijiji相同该行列式中有两行对应元素相等.关于代数余子式的重要性质;,0,,1jijiDDNaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDNaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中#25.幻灯片25综上，得公式inknikikNaNaNa2211），（当）（当ikikD0,njnljljlNaNaNa2211），（当）（当jljlD0,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。(降阶法）按行（列）展开法（降阶法）先利用行列式的性质将某行（列）尽可能较多地消成零，（最好只有一个非零元素），再按该行（列）展开例13351110243152113D03550100131111115312cc34cc注意：1、尽量选择1或-1所在的行或列，2、尽量选择0多的行列。0551111115)1(330550261155526)1(31.4012rr29031132434124141214rr232rr29035500341281707按第二列展开2935508177)1(12232cc21135008257按第二行展开113257)1(53210)7577(5思考练习0532004140013202527102135D例2计算行列式解0532004140013202527102135D231100720666627210.1080124220231254142355320414013202135215213rr122rr用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。2421164214112111=57思考练习例3已知4阶行列式解(方法1)(方法2)利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有..,521534120813171144342414的代数余子式为其中的值求ijijaNNNNND.044342414NNNN44342414443424141111NNNNNNNN.,)4,3,2,1(4然后相加（略）的值直接计算iNi例4计算n阶行列式解11212111111)1(nnnNaNaNaD列展开按第yxyyxyyxyxyxyxxn00000000000000)1(0000000000000)1(111nnnyx1)1(!)1(1000020000200001)1(11nnnnnn解11212111111)2(nnnNaNaNaD列展开按第000100002000010)2(000000000000)1(nnDxyyxyxyxDnn例5计算行列式1221100001000001nnnxxDxaaaaaxHessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶。1221112211000010000011001000000100(1)001001001nnnnnnnnxxDxaaaaaxxxxxaxaaaaxx解按第一列展开1111(1)(1)nnnnnnnDxDaxDa212211111112121()nnnnnnnnnnnnnnnxxDaaxDxDaxDxaxaaxaxxaxaa递推法递推公式)1(1)2(2221111321nnnnnD练习Hessenberg型行列式将第1，2，…，n-1列分别加到第n列01)2(222112)1(1321nnnnnnD2)!1()1(1)2(211)1(2)1(11nnnnnnn例6:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(证明：用数学归纳法21211xxD12xx,)(12jijixx(1)当n=2时,结论成立。(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。112112222121111nnnnnnnxxxxxxxxxD11nnrxr211nnrxr112rxr)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn,)(11提出因子列展开，并把每列的公按第xxi223223211312111)())((nnnnnnxxxxxxxxxxxxn-1阶范德蒙德行列式)()())((211312jjininxxxxxxxx).(1jjinixx证毕。323232)2()2(212221)1()1(111111D（考虑范德蒙德行列式）33332222)2(2)1(1)2(2)1(122111111TDD)(14jjiixx72)22)(12)(12)(12)(12)(11(2、拉普拉斯定理定义：在n阶行列式D中，任意选取k行k列（k≤n），位于这些行列交叉点上的元素，按照原来