近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB---------。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。4、偶数环是---------的子环。5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。6、每一个有限群都有与一个置换群--------。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。8、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么---------。9、一个除环的中心是一个-------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：6417352812345678，2318765412345678，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合)1}(,1,,2,1,0{mmmMm，定义mM中运算“m”为amb=(a+b)(modm),则（mM，m）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设G是群。证明：如果对任意的Gx，有ex2，则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。A、aB、ea,C、3,aeD、3,,aae2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（）A、12B、12C、22D、215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于------。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----naaa,,,10使得010nnaaa。8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为---------。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(12)}，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若G，*是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1----------。3、区间[1，2]上的运算},{minbaba的单位元是-------。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z8的零因子有-----------------------。6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为--------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1．求和1；2．确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。7.设(G，·)是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________。8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是___________。10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___________。12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝________________________。14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是______________________。15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中：k→［k］，k∈Z，验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。20.设,Zc,a0c0aI,Zd,c,b,adcbaR已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653()6)(57)(48)(123(可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13(