4-5-向量空间

§4.5向量空间向量空间的定义设V为n维向量的集合如果集合V非空且集合V对于加法及乘数两种运算封闭那么就称集合V为向量空间.所谓封闭是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算.具体地说就是若aVbV则abV若aVR则aV.上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页例13维向量的全体R3就是一个向量空间.举例这是因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量数乘3维向量也仍然是3维向量它们都属于R3.我们可以用有向线段形象地表示3维向量从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应因此R3也可看作取定坐标原点的点空间.类似地n维向量的全体Rn也是一个向量空间.不过当n3时它没有直观的几何意义.下页上页下页铃结束返回首页例2集合V{x|x(0x2xn)Tx2xnR}是一个向量空间.例13维向量的全体R3就是一个向量空间.举例这是因为若a(0a2an)TVb(0b2bn)T则ab(0a2b2anbn)TVa(0a2an)TV.下页上页下页铃结束返回首页例2集合V{x|x(0x2xn)Tx2xnR}是一个向量空间.例13维向量的全体R3就是一个向量空间.举例例3集合V{x|x(1x2xn)Tx2xnR}不是向量空间.这是因为若a(1a2an)TV则2a(22a22an)TV.下页上页下页铃结束返回首页举例例4齐次线性方程组的解集S{x|Ax0}是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间).这是因为解集S对向量的线性运算封闭.下页上页下页铃结束返回首页举例例4齐次线性方程组的解集S{x|Ax0}是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间).例5非齐次线性方程组的解集S{x|Axb}不是向量空间.这是因为当S为空集时S不是向量空间当S非空间若S则A(2)2bb知2S.下页上页下页铃结束返回首页举例例6设ab为两个已知的n维向量集合L{x|xabR}是一个向量空间(称为由向量ab所生成的向量空间).这是因为若x11a1bx22a2b则x1x2(12)a(12)bLkx1(k1)a(k1)bL.下页上页下页铃结束返回首页一般地由向量组a1a2am所生成的向量空间为L{x|x1a12a2mam12mR}.举例例6设ab为两个已知的n维向量集合L{x|xabR}是一个向量空间(称为由向量ab所生成的向量空间).下页上页下页铃结束返回首页例7设向量组a1a2am与向量组b1b2bs等价记L1{x|x1a12a2mam12mR}L2{x|x1b12b2sbs12sR}试证L1L2.设xL1则x可由a1a2am线性表示.因为a1a2am可由b1b2bs线性表示故x可由b1b2bs线性表示所以xL2.这就是说若xL1则xL2因此L1L2.类似地可证：若xL2则xL1因此L2L1.因为L1L2L2L1所以L1L2.证下页上页下页铃结束返回首页子空间设有向量空间V1及V2若V1V2就称V1是V2的子空间.例如任何由n维向量所组成的向量空间V总有VRn所以这样的向量空间总是Rn的子空间.下页上页下页铃结束返回首页子空间设有向量空间V1及V2若V1V2就称V1是V2的子空间.向量空间基、维数设V为向量空间如果r个向量a1a2arV且满足(1)a1a2ar线性无关(2)V中任一向量都可由a1a2ar线性表示那么向量组a1a2ar就称为向量空间V的一个基r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间.如果向量空间V没有基那么V的维数为0.0维向量空间只含一个向量0.若把向量空间V看作向量组则向量空间V的基就是向量组的最大无关组向量空间V的维数就是向量组的秩.下页上页下页铃结束返回首页向量空间的基举例向量空间Rn是n维的其中向量组e1(1000)Te2(0100)Ten(0001)T是Rn的一个基.向量空间V{x|x(0x2xn)Tx2xnR}是n1维的其中向量组e2(0100)Ten(0001)T是V的一个基.向量空间L{x|x1a12a2mam12mR}是由向量组a1a2am所生成的向量组a1a2am的最大无关组就是L的一个基向量组a1a2am的秩就是L的维数.下页上页下页铃结束返回首页向量的坐标如果在向量空间V中取定一个基a1a2ar那么V中任一向量x可唯一地表示为x1a12a2rar数组12r称为向量x在基a1a2ar中的坐标.在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1e2en为基则以向量x(x1x2xn)T可表示为xx1e1x2e2xnen可见向量在基e1e2en中的坐标就是该向量的分量.向量组e1e2en叫做Rn中的自然基.下页上页下页铃结束返回首页解例8设Aa1(221)Ta2(212)Ta3(122)TBb1(104)Tb2(432)T.验证a1a2a3是R3的一个基并求b1b2在这个基中的坐标.因为所以R(a1a2a3)3向量组a1a2a3线性无关从而a1a2a3是R3的一个基.221212122),,(321aaaA100110221~r221212122),,(321aaaA100110221~r下页上页下页铃结束返回首页R(a1a2a3)3所以a1a2a3是R3的一个基.例8设Aa1(221)Ta2(212)Ta3(122)TBb1(104)Tb2(432)T.验证a1a2a3是R3的一个基并求b1b2在这个基中的坐标.解设b1x11e1x21e2x31e3b2x12e1x22e2x32e3即32312221121132121),,(),(xxxxxxaaabb记作BAX.因为3/2113/23/43/21BAX所以b1b2在基a1a2a3中的坐标依次为1,32,32和32,1,34.32312221121132121),,(),(xxxxxxaaabb记作BAX.下页因为上页下页铃结束返回首页例9在R3中取定一个基a1a2a3再取一个新基b1b2b3设A(a1a2a3)B(b1b2b3).求用a1a2a3表示b1b2b3的表示式(基变换公式)并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).即基变换公式为(b1b2b3)(a1a2a3)A1B.矩阵PA1B称为从旧基到新基的过渡矩阵.解由(a1a2a3)(e1e2e3)A得(e1e2e3)(a1a2a3)A1.故(b1b2b3)(e1e2e3)B(a1a2a3)A1B结束上页下页铃结束返回首页例9在R3中取定一个基a1a2a3再取一个新基b1b2b3设A(a1a2a3)B(b1b2b3).求用a1a2a3表示b1b2b3的表示式(基变换公式)并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).解基变换公式为(b1b2b3)(a1a2a3)A1B.设向量x在旧基和新基中的坐标分别为y1y2y3和z1z2z3这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式.则321321321321),,(),,(zzzyyybbbaaa即321321zzzByyyA于是3211321yyyABzzz则321321321321),,(),,(zzzyyybbbaaa即321321zzzByyyA下页