2020高考试卷全国卷一

第1页，共19页2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥−40}，𝐵={−4,1，3，5}，则𝐴∩𝐵=()A.{−4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}2.若𝑧=1+2𝑖+𝑖3，则|𝑧|=()A.0B.1C.√2D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.15B.25C.12D.455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度𝑥(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2，…，20)得到下面的散点图：第2页，共19页由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.𝑦=𝑎+𝑏𝑥B.𝑦=𝑎+𝑏𝑥2C.𝑦=𝑎+𝑏𝑒𝑥D.𝑦=𝑎+𝑏𝑙𝑛𝑥6.已知圆𝑥2+𝑦2−6𝑥=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.47.设函数𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜋6)在[−𝜋,𝜋]的图象大致如图，则𝑓(𝑥)的最小正周期为()A.10𝜋9B.7𝜋6C.4𝜋3D.3𝜋28.设𝑎𝑙𝑜𝑔34=2，则4−𝑎=()A.116B.19C.18D.169.执行如图的程序框图，则输出的𝑛=()第3页，共19页A.17B.19C.21D.2310.设{𝑎𝑛}是等比数列，且𝑎1+𝑎2+𝑎3=1，𝑎2+𝑎3+𝑎4=2，则𝑎6+𝑎7+𝑎8=()A.12B.24C.30D.3211.设𝐹1，𝐹2是双曲线C：𝑥2−𝑦23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|𝑂𝑃|=2，则△𝑃𝐹1𝐹2的面积为()A.72B.3C.52D.212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙𝑂1为△𝐴𝐵𝐶的外接圆．若⊙𝑂1的面积为4𝜋，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝑂𝑂1，则球O的表面积为()A.64𝜋B.48𝜋C.36𝜋D.32𝜋二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2𝑥+𝑦−2≤0,𝑥−𝑦−1≥0,𝑦+1≥0,则𝑧=𝑥+7𝑦的最大值为______．14.设向量𝑎⃗⃗=(1,−1)，𝑏⃗=(𝑚+1,2𝑚−4)，若𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗，则𝑚=______．15.曲线𝑦=𝑙𝑛𝑥+𝑥+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______．16.数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+2+(−1)𝑛𝑎𝑛=3𝑛−1，前16项和为540，则𝑎1=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这第4页，共19页种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？18.△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，𝑐.已知𝐵=150°．(1)若𝑎=√3𝑐，𝑏=2√7，求△𝐴𝐵𝐶的面积；(2)若𝑠𝑖𝑛𝐴+√3𝑠𝑖𝑛𝐶=√22，求C．19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△𝐴𝐵𝐶是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠𝐴𝑃𝐶=90°．(1)证明：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面PAC；(2)设𝐷𝑂=√2，圆锥的侧面积为√3𝜋，求三棱锥第5页，共19页𝑃−𝐴𝐵𝐶的体积．20.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎(𝑥+2)．(1)当𝑎=1时，讨论𝑓(𝑥)的单调性；(2)若𝑓(𝑥)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E：𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎1)的左、右顶点，G为E的上顶点，𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=8.𝑃为直线𝑥=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．第6页，共19页22.在直角坐标系xOy中，曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=cos𝑘𝑡,𝑦=sin𝑘𝑡(𝑡为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为4𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−16𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃+3=0．(1)当𝑘=1时，𝐶1是什么曲线？(2)当𝑘=4时，求𝐶1与𝐶2的公共点的直角坐标．23.已知函数𝑓(𝑥)=|3𝑥+1|−2|𝑥−1|．(1)画出𝑦=𝑓(𝑥)的图象；(2)求不等式𝑓(𝑥)𝑓(𝑥+1)的解集．第7页，共19页第8页，共19页答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥−40}=(−1,4)，𝐵={−4,1，3，5}，则𝐴∩𝐵={1,3}，故选：D．求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】解：𝑧=1+2𝑖+𝑖3=1+2𝑖−𝑖=1+𝑖，∴|𝑧|=√12+12=√2．故选：C．3.【答案】C【解析】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为ℎ′，则依题意有：{ℎ2=12𝑎ℎ′ℎ2=ℎ′2−(𝑎2)2，因此有ℎ′2−(𝑎2)2=12𝑎ℎ′⇒4(ℎ′𝑎)2−2(ℎ′𝑎)−1=0⇒ℎ′𝑎=√5+14(负值舍去)；故选：C．先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．4.【答案】A【解析】第9页，共19页【分析】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题．根据古典概率公式即可求出．【解答】解：O，A，B，C，D中任取3点，共有𝐶53=10，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为𝑃=210=15，故选：A．5.【答案】D【解析】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点(𝑥,𝑦)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，𝑦=𝑎+𝑏𝑙𝑛𝑥可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．直接由散点图结合给出的选项得答案．本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由圆的方程可得圆心坐标𝐶(3,0)，半径𝑟=3；设圆心到直线的距离为d，则过𝐷(1,2)的直线与圆的相交弦长|𝐴𝐵|=2√𝑟2−𝑑2，当d最大时|𝐴𝐵|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时𝑑=|𝐶𝐷|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，所以最小的弦长|𝐴𝐵|=2√32−(2√2)2=2，故选：B．由相交弦长|𝐴𝐵|和圆的半径r及圆心C到过𝐷(1,2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题．7.【答案】C第10页，共19页【解析】【分析】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．由图象观察可得最小正周期小于13𝜋9，大于10𝜋9，排除A，D；再对照选项B，C求得𝜔，代入𝑓(−4𝜋9)=0计算，即可得到结论．【解答】解：由图象可得最小正周期小于𝜋−(−4𝜋9)=13𝜋9，大于2×(𝜋−4𝜋9)=10𝜋9，排除A，D；由图象可得𝑓(−4𝜋9)=cos(−4𝜋9𝜔+𝜋6)=0，即为−4𝜋9𝜔+𝜋6=𝑘𝜋+𝜋2，𝑘∈𝑍，(∗)若选B，即有𝜔=2𝜋7𝜋6=127，由−4𝜋9×127+𝜋6=𝑘𝜋+𝜋2，可得k不为整数，排除B；若选C，即有𝜔=2𝜋4𝜋3=32，由−4𝜋9×32+𝜋6=𝑘𝜋+𝜋2，可得𝑘=−1，成立．故选：C．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】解：因为𝑎𝑙𝑜𝑔34=2，则log34𝑎=2，则4𝑎=32=9则4−𝑎=14 𝑎=19，故选：B．9.【答案】C【解析】解：𝑛=1，𝑆=0，第一次执行循环体后，𝑆=1，不满足退出循环的条件，𝑛=3；第二次执行循环体后，𝑆=4，不满足退出循环的条件，𝑛=5；第三次执行循环体后，𝑆=9，不满足退出循环的条件，𝑛=7；第11页，共19页第四次执行循环体后，𝑆=16，不满足退出循环的条件，𝑛=9；第五次执行循环体后，𝑆=25，不满足退出循环的条件，𝑛=11；第六次执行循环体后，𝑆=36，不满足退出循环的条件，𝑛=13；第七次执行循环体后，𝑆=49，不满足退出循环的条件，𝑛=15；第八次执行循环体后，𝑆=64，不满足退出循环的条件，𝑛=17；第九次执行循环体后，𝑆=81，不满足退出循环的条件，𝑛=19；第十次执行循环体后，𝑆=100，不满足退出循环的条件，𝑛=21；第十一次执行循环体后，𝑆=121，满足退出循环的条件，故输出n值为21，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】D【解析】解：{𝑎𝑛}是等比数列，且𝑎1+𝑎2+𝑎3=1，则𝑎2+𝑎3+𝑎4=𝑞(𝑎1+𝑎2+𝑎3)，即𝑞=2，∴𝑎6+𝑎7+𝑎8=𝑞5(𝑎1+𝑎2+𝑎3)=25×1=32，故选：D．根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由题意可得𝑎=1，𝑏=√3，𝑐=2，∴|𝐹1𝐹2|=2𝑐=4，∵|𝑂𝑃|=2，∴|𝑂𝑃|=12|𝐹1𝐹2|，∴△𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形，∴𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，∴|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=4𝑐2=16，∵||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2𝑎=2，第12页，共19页∴|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−2|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=4，∴|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=6，∴△𝑃𝐹1𝐹2的面积为𝑆=12|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=3，故选：B．先判断△𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可知图形如图：⊙𝑂1的面积为4𝜋，可