图形的相似与位似(中考真题)

图形的相似与位似一、选择题1.（2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A.600mB.500mC.400mD.300m2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A．1B．2C．3D．43.（2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A.2：5B.14:25C.16:25D.4:214．（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（3，2）B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）5.（2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（）6.（2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（）A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条B．对角线相等的四边形是矩形北环城路曙光路西安路南京路书店八一街400m400m300mC．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等D．位似图形一定是相似图形7.（2011重庆江津，8，4分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是()A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似8.（2011山东泰安，15，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误．．的是A.EDEA=DFABB.DEBC=EFFBC.BCDE=BFBED.BFBE=BCAE9.（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是()A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似10.（2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝A．7B．7.5C．8D．8.511.（2011山东东营，11，3分）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．12aB．1(1)2aC．1(1)2aD．1(3)2aabcABCDEFmnABCDO①②⊙o⊙③⊙o⊙④⊙o⊙（第7题）35°75°75°70°(1)ABCDO4368(2)第8题图12.（2011湖北荆州，7，3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题1.（2011广东广州市，14，3分）如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．2.（2011江苏苏州，17,3分）如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.三、解答题1.（2011江西，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.①=度；②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.B′A′第11题-1x1O-11yBAC图3OABCDEA′B′C′D′E′GEADBCPF活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1=，2=，3=；（用含的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求的范围.2.（2011广东汕头，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？3.（2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：;AMHGADBC(2)求这个矩形EFGH的周长.4.（2011四川绵阳25，14）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.(1)若BD是AC的中线，如图2，求BDCE的值；(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求BDCE的值；(3)结合（1)、（2)，请你推断BDCE的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BDCE的值能小于43吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.DBCAEBDCAEDBCAE5.（2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：QCPEBQDP．（2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证MN2=DM·EN．6.（2011河北，20，8分）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2；（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）ABC1、【答案】B2、【答案】B3、【答案】B4、【答案】D5、【答案】Ａ6、【答案】D7、【答案】A·8、【答案】C9、【答案】B10、【答案】B11、【答案】D12、【答案】C1、【答案】122、【答案】4331、【答案】解：（1）能（2）①22.5°②方法一：∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=2，AA3=1+2.又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+2,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=2a2,∴a3=A5A6=AA5=a2+2a2=(2+1)2.方法二：∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=2，AA3=1+2.[来源:学_科_网Z_X_X_K]又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，∴a2=A3A4=AA3=1+2,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，∴3221aaa，∴a3=122a=(2+1)2.an=(2+1)n-1.(3)432321，，(4)由题意得905906，∴15°＜≤18°.2、【答案】解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝21得AC＝22)21(1＝25∵BC＝CD，AE＝AD∴AE＝AC－AD＝215．（2）∠EAG＝36°，理由如下：∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝215∴FAAE＝215∴△FAE是黄金三角形∴∠F＝36°，∠AEF＝72°∵AE＝AG，FA＝FE∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE∴△AEG∽△FEA∴∠EAG＝∠F＝36°．3、【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴CGACABBH，即99xy，所以，81yx（3）当CG＜12BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；当CG=12BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；此时，GC=922，即x=922当CG＞12BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9或922时，△AGH是等腰三角形．4、【答案】(1)解：∵四边形EFGH为矩形∴EF∥GH∴∠AHG=∠ABC又∵∠HAG=∠BAC∴△AHG∽△ABC∴;AMHGADBC（2）由（1）得;AMHGADBC设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x可得4023030xx，解得，x=12，2x=24所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.5、【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=5x,∵△ABD∽△CDE,BDABCECD,可得CE=25x,所以BDCE=52（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=2x，AB=2x+x,由勾股定理可知BD=（4+22）x²△ABD∽△CDE，121ABECADDE,∴EC=222x,BDCE=2,(3)由前面两步的结论可以看出，1BDCE≥,所以这样的点是存在的，D在AC边的五等分点和点A之间7、【答案】（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DP/BQ＝AP/AQ．同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ．∴DP/BQ＝EP/CQ．（2）92．（3）证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC．∴DG/CF＝BG/EF，∴DG·EF＝CF·BG又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)∴MN2＝DM·EN8、【答案】（1）如下图.C'B'A'ABC（2）四边形AA′C′C的周长=4+62