高等数学-函数图形的描绘

2009年7月3日星期五1返回上页下页目录我们学过用“五点法”来画函数的图形。在中学数学中，但“五点法”有着固有的局限性，不能准确地画出函数的图形在高等数学中，我们学会了利用函数的导数来确定函数的单调区间和极值点；学会了利用函数的二阶导数来确定函数的凹凸区间及拐点……知道了这些知识后，我们就能较准确地描绘出函数的图形。为了更准确地描绘函数的图形，我们再来学习一个概念——渐近线，然后，再来研究函数图形描绘的基本步骤和技巧！2009年7月3日星期五2返回上页下页目录第六节函数图形的描绘第三章（PlotofFunctionalGraph）一、曲线的渐进线水平渐近线铅直渐近线斜渐近线二、函数图形的描绘三、小结与思考练习2009年7月3日星期五3返回上页下页目录一、曲线的渐进线定义如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．1.水平渐近线（平行于x轴的渐近线）如果曲线()yfx=的定义域是无限区间，且有lim()xfxb−∞→=或lim()xfxb+∞→=则称直线yb=为曲线()yfx=的水平渐近线。例如，,arctan（AsymptoteofCurve)xy=有水平渐近线两条:.2,2π−=π=yy2009年7月3日星期五4返回上页下页目录2.铅直渐近线（垂直于x轴的渐近线）如果曲线()yfx=有lim()cxfx−→=∞或lim()cxfx+→=∞，则称直线xc=为曲线()yfx=的铅直渐近线。例如，1,(2)(3)yxx=+−有铅直渐近线两条:.3,2=−=xx2009年7月3日星期五5返回上页下页目录3.斜渐近线如果曲线()yfx=有lim[()()]0xfxaxb+∞→−+=或lim[()()]0xfxaxb−∞→−+=(0)a≠，则称直线yaxb=+为曲线()yfx=的斜渐近线。下面来确定,ab.lim[()()]0xfxaxb→+∞−+=(im)l0xfxbaxxx→+∞−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+(lim0)xfxbaxx+∞→−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+()limxfxax+∞→=将a代入lim[()()]0xfxaxb→+∞−+=，得lim[().]xbfxax→+∞=−2009年7月3日星期五6返回上页下页目录例1求曲线2(2)(3)()1xxfxx−+=−的渐近线．（补充题）提示：（1）水平渐近线公式lim()xfxb−∞→=或lim()xfxb+∞→=（2）铅直渐近线公式lim()cxfx−→=∞或lim()cxfx+→=∞，（3）斜渐近线公式()limxfxax+∞→=lim[().]xbfxax→+∞=−（答案见下页）2009年7月3日星期五7返回上页下页目录2(2)(3)()1xxfxx−+=−有两条渐进线，如下图自学（练习课本例2）2009年7月3日星期五8返回上页下页目录二、函数图形的描绘描绘函数的图形可按下列步骤：（1）确定函数的定义域；（2）确定函数的奇偶性、周期性；（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区间与拐点；（4）讨论曲线的渐近线；（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是曲线和坐标轴的交点；（6）根据上述讨论，描绘函数()fx的图形．2009年7月3日星期五9返回上页下页目录例2作出函数221()e2πxfx−=的图形．（课本例3）解：（1）函数定义域为(,)−∞+∞（2）函数是偶函数，故函数图形关于y轴对称；（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区间与拐点；221()e,2πxfxx−′=−2221()e(1)2πxfxx−′′=−在[0,)+∞上，当0x=时，()0fx′=；当1x=时，()0fx′′=.2009年7月3日星期五10返回上页下页目录曲线在这两个区间上的单调性、凹凸性列表讨论如下：用点1x=把[0,)+∞分为[0,1]和[1,)+∞两个区间，x()fx′()fx的单调性()fx′′()fx的图形00负()0,1极大值点负单调减少负凸10()1,+∞负单调减少正凹拐点（4）讨论曲线的渐近线；因为lim()0xfx→∞=，所以0y=是曲线的水平渐近线．2009年7月3日星期五11返回上页下页目录（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是曲线和坐标轴的交点；由221()e2πxfx−=算出曲线上一些点的坐标；11(0,),2πM1221(1,e),2πM−231(2,e)2πM−（6）根据上述讨论，描绘函数()fx的图形．综合上述讨论结果，可描绘函数221()e2πxfx−=在[0,)+∞上的图形，最后，利用图形的对称性，便可得到函数在(,0]−∞上的图形。2009年7月3日星期五12返回上页下页目录xyo11−1M2M23M2221)(xex−π=ϕ2009年7月3日星期五13返回上页下页目录例3作出函数32()2(1)xfxx=−的图形．（课本例4）解：（1）函数定义域为(,1)(1,)−∞+∞∪（2）无奇偶性，无周期性；（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区间与拐点；23(3)(),2(1)xxfxx−′=−43()(1)xfxx′′=−令()0fx′=，得0x=与3，令()0fx′′=，得0x=，点1x=处，()fx间断。2009年7月3日星期五14返回上页下页目录点0,1,3x=把定义域分为(,0],[0,1),(1,3],[3,)−∞+∞四个区间，曲线在各部分区间内的单调性、凹凸性列表讨论如下：x()fx′()fx的单调性()fx′′()fx的图形(,0)−∞正递增负凸000(0,1)正递增正凹拐点1间断(1,3)负递减正凹30正极小值点(3,)+∞正递增正凹2009年7月3日星期五15返回上页下页目录（4）讨论曲线的渐近线；曲线有铅直渐近线1x=；斜渐近线112yx=+（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是曲线和坐标轴的交点；1(1,),8−−（6）根据上述讨论，描绘函数()fx的图形．(0,0),11(,),24(2,4),27(3,)82009年7月3日星期五16返回上页下页目录xyO111−2−232342009年7月3日星期五17返回上页下页目录内容小结1.曲线的渐近线水平渐近线铅直渐近线斜渐近线2.函数图形的描绘（主要步骤）2009年7月3日星期五18返回上页下页目录思考与练习习题3-61（2）；2（1）课后练习两坐标轴0=x，0=y是否都是函数xxxfsin)(=的渐近线？解：0sinlim=∞→xxx∵0=∴y是曲线的渐近线.0=∴x不是函数曲线的渐近线.∞≠=→1sinlim0xxx∵