周期现象-与周期函数

第一章三角函数§1周期现象每隔相同的时间就会出现相同的现象，这种现象称为周期现象．我们生活在周期变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动；时间在年复一年，日复一日地逝去，所有的生物都会生老病死等．总而言之，周期现象在现实生活中有着广泛的应用.教师点拨每隔一段时间会重复出现的这种现象称为________．潮汐是________现象，地球上一年春夏秋冬四季的变化、钟表的分针每小时转一圈等，这些都是________现象．自主学习周期现象周期周期1.下列现象不是周期现象的是()A．地球围绕太阳转B．地球自转C．星期D．人的一生自主测评D2．下列现象是周期现象的有()①候鸟迁徙；②24小时为一天；③某一路口的红绿灯每30秒转换一次；④每年六月7、8号高考A．1个B．2个C．3个D．4个D3．已知奇函数f(x)是以5为周期的周期函数，f(－1)＝1，则f(－4)等于()A．1B．－1C．6D．－5解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝1，∴f(1)＝－1，又f(x)是以5为周期的周期函数．∴f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝－1，故选B.B4．今天星期六，再过21天是()A．星期六B．星期日C．星期五D．星期一A题型一周期现象的判定例1：判断下列现象是不是周期现象，若是，说明其周期．(1)春去春又回；(2)奥运会每四年举办一次；(3)两个小朋友玩数字游戏，第一个小朋友第一次说了一个1，第二个小朋友说了一个2，然后每个人说出前一轮中对方说出的数与自己说出的数的差，依次类推，它们说出的数字；(4)某人买单价为10元的商品x件．点拨：欲看这些现象是不是周期现象，关键是看它是否满足周期现象的概念．典例剖析解：(1)因为每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象，一年是它的周期；(2)奥运会每隔四年就重复一次，因此开奥运会为周期现象，4年是它的周期；(3)设第一个小朋友第一次说出的数为a1，第二个小朋友说出的数为a2，第一个小朋友第二次说出的数为a3，第二个小朋友第二次说出的数为a4，…，则a1＝1，a2＝2，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝1－2＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2，a6＝a5－a4＝－2－(－1)＝－1，a7＝a6－a5＝－1－(－2)＝1，a8＝a7－a6＝2…，每隔6次重复一回，故他们说出的数字呈现周期性，6是它的一个周期；(4)买单价为10元的商品x件，共消费10x元，不具备周期性，故不是周期现象．规律技巧：判断某种现象是否为周期现象，关键要看该现象是否每隔一段时间就重复出现一次变式训练1：今天是星期日，则500天后是星期几？解：由于星期具有周期性，7是一个周期，而500＝7×71＋3，∴500天后是星期三．题型二周期现象的应用例2：1,2,3,4,5,612,11,10,9,8,713,14,15,16,17,1824,23,22,21,20,1925,26，…问2014是第几行第几列的数？点拨：利用周期性解题．解：由题意知，这些数在排列时每行6个数，且奇数行的数字，从左向右依次增大，偶数行从右向左依次增大，呈周期性．而2014＝335×6＋4，∴2014为第336行从左向右第3个数．规律技巧：抓住每行中数的规律是解决此类问题的关键．1234-1-20xy1…………例3已知函数y=f(x),x∈R图像如图所示：(1)f(-2)=；f(-1)=；f(0)=；f(1)=；……f()=；(2)f(-1.5)=；f(0.5)=；f()=……问题1：你能用数学语言描述这个函数的特征吗？f(x+1)=f(x)f(x+n)=f(x)00000.50.500.5n0.5+n周期概念•对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。例4.已知定义在R上的奇函数f(x)是以2为周期的周期函数，求f(1)＋f(2)＋f(3)的值．解：∵f(x)为奇函数，且以2为周期，∴f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，又f(3)＝f(2＋1)＝f(1)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.变式4：已知奇函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1且f(x)是以3为周期的周期函数，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)．点拨：先求出一个周期内各项之和，再利用周期性求解解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)是以3为周期的周期函数且f(1)＝1，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，又f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝1－1＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝671×0＋f(2014)＋f(2015)＝f(3×671＋1)＋f(3×671＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(－1)＝1－1＝0.规律技巧：已知函数的周期性求某些连续项的和，应先求一个周期内各项的和，再看这些项有多少个周期，余下几项，再利用周期性求和．