相似知识点

1《相似》章节知识点总结人：汪老师总结日期：2015年1月26日一、图形的相似1.线段的比1）如果选用一个长度单位量得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么两条线段的比为a：b=m：n或其中a,b分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把nm表示成比值k，那么ba=k2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段．四条线段a,b,c,d成比例,记作a∶b=c∶d.或其中a,d为比例外项;b,c为比例内项d称为a,b,c的第四比例项．特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同即a∶b=b∶c(或表示为b2=ac),则线段b叫a,c的比例中项．3）比例基本性质合比性质：等比性质：4）黄金分割如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比(或BC与AC的比)称为黄金比.二、图形的相似1.形状相同的图形①表象：形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例2.相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).3.相似多边形性质：①相似多边形的对应角相等,对应边成比例.②相似多边形周长的比等于相似比.③相似多边形对应对角线的比等于相似比.nmba.dcba.bcaddcba那么如果.,dcbabcad那么如果.,ddcbbadcba那么如果,nmfedcba如果.0nfdbbanfdbmeca那么,ACBCABAC.618.0215ACBCABAC黄金比ACBC2④相似多边形对应三角形相似,且相似比等于相似多边形的相似比.⑤相似多边形对应三角形面积比等于相似多边形的相似比的平方.⑥相似多边形面积的比等于相似比的平方.4.多边形与三角形①三角形是边数最少的多边形.②相似三角形可类比相似多边形来学习.5.相似三角形三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).6.相似三角形性质：①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.③相似三角形面积的比等于相似比的平方.7.相似三角形与全等三角形的关系：相似比等于1的两个三角形全等.8.两个极具代表性的益智“模型”：“A”型和“X”型相似三角形.若△ADE∽△ABC,则∠DAE=∠BAC,∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.三、相似三角形判定方法1.定理两角对应相等的两个三角形相似.2.推论1平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;如图:如果DE∥BC,那么△AＤＥ∽△ＡＢＣ3.推论2平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所得的对应线段成比例.如果DE∥BC，４.定理两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;.BCDEACAEABAD;ECAEDBAD那么;ACAEABAD或;AEECADDB或.ACECABDB或3５.定理三边对应成比例的两个三角形相似.６.模型“双垂直”三角形直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似.△ACD∽△CBD∽△ABC.认识结论:∠A=∠DCB;∠B=∠ACD;经典例题例如图，四边形EFGH为矩形，AD⊥BC于D，BC＝36cm,AD＝12cm.求矩形EFGH的周长.【解析】在矩形EFGH中，EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∴△AEF∽△ABC,∴设EF=5x,FG=9x,则ID=FG=9x,∴矩形EFGH的周长例如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，你能设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片吗？你能求出这种不锈钢片的边长吗？【解析】能.方案1：如图，设正方形EFGH的边长为xcm，过C作CD⊥AB于D，交EH于点M.∵∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，∵AB·CD＝AC·BC，∵EH∥AB，∴△CEH∽△CAB.例如图，设正方形CFGH的边长为ycm.∵GH∥AC，在上述两种方案中，因为x＜y，所以应按方案2裁剪，这时正方形面积最大，它的边;2ABADAC;2ABBDBC;2DBADCD.CDABBCACAIEFADBC，EF5FG9，5x129x9,x,36128EF5,FG9928x28831.5cm.22ABACBC13cm.＝ACBC12560CD.AB1313＝EHCM.ABCD60xx13.601313780xcm.229即GHBHACBC，y5y,12560ycm.1760cm.174长为例如图所示，在△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，且AC=10，AB=8，如果图中两直角三角形相似，你能求出AD的长吗？若能，请直接求解.若不能，请说明理由.【解析】由题意知，在△ABC和△ADB中，只能判断点B和点D是一对对应顶点，其余两对对应顶点无法确定，因此分两种情况讨论：①当△ABC∽△ADB时，有因为AB=8，AC=10，所以所以②当△ABC∽△BDA时，有在Rt△ABC中，由勾股定理，得所以所以因此AD的长为6.4或4.8.例(1)如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形,若∠APB=120°，求证△ACP∽△PDB.(2)若没有（1）中∠APB=120°这一条件，则当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；(3)若没有（1）中∠APB=120°这一条件，则当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数是多少？【解析】（1）∵△PCD是等边三角形,∴∠CPD=∠PCD=∠PDC=60°,又∵∠APB=120°,∴∠APC+∠DPB=60°,又∵∠A+∠APC=∠PCD=60°,∴∠A=∠DPB,同理∠APC=∠PBD,∴△ACP∽△PDB.（2）∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB=120°,要使△ACP∽△PDB，需使∴AC·DB＝PC·PD，又∵PC＝PD＝CD，∴CD2＝AC·DB.（3）要使△ACP∽△PDB，需∠A＝∠DPB，∠APC＝∠B，又∵∠A＋∠APC＋∠ACP＝180°，∴∠A＋∠APC＝60°，即∠DPB+∠APC=60°,又∵∠CPD＝60°，∴∠APB＝∠APC+∠BPD+∠CPD=120°.例如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,问：ABAD.ACAB8AD108，64AD6.4.10ACBCABAD，2222BCACAB1086.1068AD＝，48AD4.8.10ACPDPCDB，5在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的P点共有几个？并请你求出AP的长.【解析】假设满足条件的P点存在，则有以下两种情形∶(1)△APD∽△BPC,∵∠A=∠B=90°,故只需(2)△APD∽△BCP,∵∠A=∠B=90°,故只需∴7AP-AP2=6,即AP2-7AP+6=0,∴AP=1或AP=6.故P点共有3个，AP=1或AP=6或四、位似1．位似图形的概念如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.2．位似图形的性质性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.APADAP2BPBCBP3，即，214APAB.55APADAP2,BCBP37AP即，14AP.56经典练习一、精心选一选1．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．19B．17C．24D．212．下列说法不正确的是（）A．所有的矩形是相似的；B．含30直角三角形与含60角的直角三角形是相似的；C．所有边数相等的正多边形是相似的；D．所有的等边三角形都是相似的。3．如图1，ADE∽ABC，若4,2BDAD，则ADE与ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：24．如图2，点P是ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定ABP∽ACB的是（）A．ABACAPABB．ABACBPBCC．CABPD．ABCAPB5．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）6．如图3，D、E分别在边AB、AC上，且B21，则图中相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7．如图4，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使PQR∽ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．如图5，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子DE是2米。如果小明的身高为1.6米，那么，路灯离地面的高度AB是（）A．3米B．3．2米C．4米D．5．6米二、细心填一填：1、在比例尺是1:8000000的某地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，则福州与上海两地的实际距离是_________千米。2、如图所示，在中，，，，图4BACDE图57，则BC=，ACDE=。3、在△ABC中，AB=4，BC=9，AC=8，在AC上取一点M，当AM的长为时，△AMB∽△ABC。4、如图，ABC△与AEF△中，ABAEBCEFBEAB，，，交EF于D．给出下列结论：①AFCC；②DFCF；③ADEFDB△∽△；④BFDCAF。其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）。5、按下列方法把ABC的三边缩小为原来的21，如图，任取一点O，连结COBOAO,,并取它们的中点D、E、F得DEF，则ABCDEF。6、在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为。7、一根竹竿的高为，影长为，同一时刻，某塔楼影长是，则塔楼的高度为。8、如图9，身高为m7.1的小明AB站在河边的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD的倒影为',,,'CEADC在一条视线上，已知河BD的宽度为mBEm3,12，则树CD的高为。9、如图10，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为mm5，AC被分为50等份，如果小玻璃管口DE正好对着量具上30等份处，（ABDE//），那么小玻璃管口径DE的长为。10、如图12，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，∠DAE=20°，∠AED=90°，则∠B=度；若31ABEC，AD=4cm，则CF=cm。11．某课外活动小组的同学在研究某植物标本时，测得叶片①最大宽度是cm8，最大长度是cm16；②最大宽度是cm7，最大长度是cm14；③最大宽度是cm5.6。请你用所学的知识估算叶片③的完整叶子的最大长度，结果约为cm。12．如图13是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm.图9图10图11图12图13三、解答题：8DCBA1、如图，已知△ABC中，AB=12，BC=8，AC=6，点D，E分别在AB，AC上，如果以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为21。（1）根据题意确定D，E的位置，画出简图；（2）求AD，AE和DE的长。2、已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为5cm，6cm，7cm，△DEF的一边长为4cm，求△DEF的三边长。3、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE