二次根式知识点总结及习题带答案

1【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。二、取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即2；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2、乘法法则：ab=a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：bbaa（b≥0，a0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。（2）步骤：如果有括号，根据去括号的法则去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数相同的二次根式。6、混合运算：与有理数的运算一致，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。113222xxx（）；（）；3解：（1）要使32x有意义，必须320x，由320x得x32，当x32时，式子32x在实数范围内有意义。（2）要使xx12有意义，必须xx1020xxxx1221且，但不在的范围内。当xx12且时，式子xx12在实数范围内有意义。小练习：1、（1）当x是多少时，31x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？②（3）当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？（4）当__________时，212xx有意义。2.使式子2(5)x有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数3．已知y=2x+2x+5，求xy的值．4．若3x+3x有意义，则2x=_______．5.若11mm有意义，则m的取值范围是。最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：（），（）（），19600224750325121003234abababcab解：（）·，196166460032abaabaabab001151212512125361072223572357225349501475047222422432babcabcbbacba，·）（）（4同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：438532161531751；；）（分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解：（）；117525757是同类二次根式，，；438532161531757374749324343324385327431679166316153分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：；）；（）（2325223211分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如2与2，5353与均为有理化因式。解：（）（）112321232221462523252322322322151010求值：例5：计算：312115233231214181）（）（分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解：（1）原式（）3222323353335630323232310323615623153223152·）原式（化简：例6：化简：babababa44241）（分析：应注意（1）式ab00，，（2）a0，所以aabb22，，ab4可看作ab224可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。解：（）原式122222ababababbababababa4221222例7：化简练习：解：（）103stststtstttsttstt33200000，而，即原式·||（），而原式22636206306263626362632656化简求值：例8：已知：223223ba，求：abab33的值。分析：如果把a，b的值直接代入计算ab33，的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到3232与互为有理化因子可计算abab，·，然后将求值式子化为abab与·的形式。解：abab32322332232214，··abababbaababababab332222214321414312145258()将与·的值代入，得：··小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例9：在实数范围内因式分解：[来源:学*科*网Z*X*X*K]1、2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋2）（x－2）2、x4－2x2－3．【提示】先将x2看成整体，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋3）（x－3）．例10、综合应用：如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。BACQP71、aa112成立的条件是：A．a1B．a1C．a1D．a12、把227化成最简二次根式，结果为：A．233B．29C．69D．393、下列根式中，最简二次根式为：A．4xB．x24C．x4D．()x424、已知t1，化简1212ttt得：A．22tB．2tC．2D．05、下列各式中，正确的是：A．772B．07072..C．7722D．07072..6、下列命题中假命题是：A．设xxx02，则B．设xxx012，则C．设xxx02，则D．设xxx0222，则7、与23是同类根式的是：A．50B．32C．18D．758、下列各式中正确的是：A．235B．2323C．3434axxaxD．127390三、1、化简aaa324482、已知：xy123123，求：xxyy225【答案】：一、选择题：1、B2、C3、B4、D5、B6、C7、D8、D9、C10、B二、计算：三、122935、、、aaa二次根式测试题（一）1．下列式子一定是二次根式的是（）A．2xB．xC．22xD．22x2．若bb3)3(2，则（）A．b3B．b3C．b≥3D．b≤33．若13m有意义，则m能取的最小整数值是（）A．m=0B．m=1C．m=2D．m=34．若x0，则xxx2的结果是（）A．0B．—2C．0或—2D．25．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．14B．48C．baD．44a6．如果)6(6xxxx，那么（）A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x为一切实数7．小明的作业本上有以下四题：①24416aa；②aaa25105；③aaaaa112；④aaa23。做错的题是（）A．①B．②C．③D．④8．化简6151的结果为（）A．3011B．33030C．30330D．11309．若最简二次根式aa241与的被开方数相同，则a的值为（）9A．43aB．34aC．a=1D．a=—110．化简)22(28得（）A．—2B．22C．2D．22411．①2)3.0(；②2)52(。12．二次根式31x有意义的条件是。13．若m0，则332||mmm=。14．1112xxx成立的条件是。15．比较大小：3213。16．yxy82，2712。17．计算3393aaaa=。18．23231与的关系是。19．若35x，则562xx的值为。20．化简1083114515的结果是。21．求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）43x（2）a831（3）42m（4）x122．化简：（1）)169()144(（2）22531（3）5102421（4）nm21823．计算：（1）21437（2）225241（3）)459(4333210（4）126312817（5）2484554（6）233232624．若x，y是实数，且2111xxy，求1|1|yy的值。二次根式（一）1．C2．D3．B4．D5．A6．B7．D8．C9．C10．A11．①0.3②2512．x≥0且x≠913．—m14．x≥115．16．xy41817．a318．相等19．120．3316531521．（1）34x（2）241a（3）全体实数（4）0x22．解：（1）原式=1561312169144169144；（2）原式=51531；（3）原式=51653221532212