006-小波分析(第一讲)-小波基础+连续小波

小波分析绪论北京科技大学阳建宏2020/11/14北京科技大学机械工程学院2/102实际中绝大多数信号是时域信号，即获取到的信号是时间变量的函数为什么我们需要频域信息？多数情况下，最明显的差异信息表现在频域中引言北京科技大学机械工程学院3/102平稳信号的信息不随时间而改变所有的频率成分自始至终存在)2cos(...)2cos()2cos()(21tftftftxn20Hz80Hz120Hz平稳信号北京科技大学机械工程学院4/102傅立叶变换(FourierTransformation)是应用的最广泛的变换其他一些被广泛应用的变换Hilbert变换短时傅立叶变换小波变换每种变换都有自己的优缺点，具有不同的应用领域变换北京科技大学机械工程学院5/102基本思想：将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加将信号从时间域转换到频率域傅里叶变换北京科技大学机械工程学院6/102dtetxetxXtjtj)(),()(待处理的信号基底，“滤波镜片”,为广义的内积运算2/)(sin2/)(cossincostjtjtjtjtjeeteettjte傅里叶变换的定义北京科技大学机械工程学院7/102基底（“滤波镜片”）的基本运算只有时间上的缩放，本质是调节镜片的透光频率。Hzf612Hzf3060傅里叶变换Hzf1020北京科技大学机械工程学院8/102dtwjwt-ex(t))X(原始信号（时域）5Hz-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81傅里叶变换实例北京科技大学机械工程学院9/1022Hzx(t).*cos(2ft)=5.7e-15-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81timeAmplitude1Hzx(t).*cos(2ft)=8.4e-15-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81timeAmplitude0246810020406080100X=1Y=8.4377e-015FrequenceAmplitude0246810020406080100X=2Y=5.7732e-015FrequenceAmplitude傅里叶变换实例北京科技大学机械工程学院10/102-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81timeAmplitude-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81timeAmplitude4Hzx(t).*cos(2ft)=2.3e-143Hzx(t).*cos(2ft)=7.5e-140246810020406080100X=3Y=7.5495e-014FrequenceAmplitude0246810020406080100X=4Y=2.2649e-014FrequenceAmplitude傅里叶变换实例北京科技大学机械工程学院11/102-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81timeAmplitude-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81timeAmplitude5Hzx(t).*cos(2ft)=1004.8Hzx(t).*cos(2ft)=73.80246810020406080100X=5Y=100FrequenceAmplitude0246810020406080100X=4.8Y=73.8046FrequenceAmplitude傅里叶变换实例北京科技大学机械工程学院12/102-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81timeAmplitude-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81timeAmplitude6Hzx(t).*cos(2ft)=7.5e-155.2Hzx(t).*cos(2ft)=76.80246810020406080100X=6Y=7.5495e-015FrequenceAmplitude0246810020406080100X=5.2Y=76.8082FrequenceAmplitude傅里叶变换实例北京科技大学机械工程学院13/102dtetxXtj)()(10()()NjnnXxne□为了利用计算机进行计算，无论是时间还是频率都需要进行离散化12/0()(),0,1,,NjknNnXkxnekN时间离散能量有限频率离散离散傅里叶变换北京科技大学机械工程学院14/102快速傅立叶变换，简称FFT，计算DFT的快速算法的统称习惯上是指以1965年库利和图基(Cooly-Tukey)算法为基础的一类高效算法12/02/10()(),0,1,,()(),0,1,,NjknNnjNNNknNnXkxnekNWeXkxnWkN快速傅里叶变换北京科技大学机械工程学院15/102基本思想：把原始的N点序列，依次分解成一系列短序列充分利用WN所具有的对称性和周期性，求出这些短序列相应的DFT进行适当组合，达到删除重复计算，减少乘法运算，提高速度的目的结果：DFT的复乘次数：FFT的复乘次数：2N2log2NN快速傅里叶变换北京科技大学机械工程学院16/102缺乏时-频分析能力傅立叶变换的基函数在时间上是无限的•时间是全局的•在实际应用中通常只能获得有限长的信息傅立叶变换丢掉了时间信息，无法根据傅立叶变换的结果判断一个特定信号在什么时候发生•频域里的定位是完全准确的•时域无任何定位性时域上的局部突变延伸到频域的全局，反之亦然dtwfjwt-ex(t))(傅里叶变换的局限性（1）北京科技大学机械工程学院17/102Frequency(X)Amplitude20,80,120HzFT北京科技大学机械工程学院18/102Frequency(X)Amplitude20,80,120HzFT北京科技大学机械工程学院19/102对时域上的局部突变无法分析积分变量的范围：从－∞到+∞时域上的局部突变延伸到频域的全局傅里叶变换的局限性北京科技大学机械工程学院20/102050100150200250-202原始信号0501001502002503003504004505000510信号的频谱050100150200250-202冲击信号05010015020025030035040045050000.050.1信号的频谱傅里叶变换的局限性北京科技大学机械工程学院21/102单一的频率分辨率傅里叶变换的频率分辨率=fs/Nfs为信号采样频率，N是信号的采样数目傅里叶变换的频率分辨率在信号的低频段和高频段是不变的不足：无法兼顾低频和高频，与人类的感觉不一致。譬如：低频段：要区分10Hz和11Hz，频率分辨率必须1Hz高频段：100,000Hz和100,001Hz本质上没有区别，频率分辨率取1000Hz也可傅里叶变换的局限性（2）北京科技大学机械工程学院22/102缺乏时-频分析能力STFT单一的频率分辨率多分辨率分析傅里叶变换的发展北京科技大学机械工程学院23/102FT缺乏局域性信息整体上将信号分解为不同频率分量不能确定某个频率分量发生在哪些时间内不能处理非平稳信号短时傅里叶变换可否假设在信号的局部是平稳信号呢？短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院24/102dtex(t)X(f)jft2-FTSTFTdte)]t'-ω(t[x(t)f)X(t,jft2-其中是窗函数ω(t)高斯窗矩形窗三角窗短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院25/102利用高斯窗STFT对非平稳信号进行分析非平稳信号241ω(t)2taea其中a为窗宽短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院26/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院27/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院28/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院29/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院30/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院31/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院32/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院33/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院34/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院35/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院36/102FTX短时傅里叶变换北京科技大学机械工程学院37/102TimestepFrequencyAmplitude时频表示窗宽=0.05采样步长=100ms北京科技大学机械工程学院38/102TimestepFrequencyAmplitudeAmplitudeTimestepFrequencyAmplitude窗宽=0.02采样步长=10ms窄窗有好的时间分辨率，但频率分辨率较差北京科技大学机械工程学院39/102TimestepFrequencyAmplitudeAmplitudeTimestepFrequencyAmplitude窗宽=0.1采样步长=10ms宽窗有好的频率分辨率，但时间分辨率较差北京科技大学机械工程学院40/102根据Heisenberg不确定性原理得：时间分辨率和频率分辨率不能任意小STFT窗函数大小形状固定如何保证高的时间分辨率和频率分辨率？tf14tf短时傅里叶变换小波变换短时傅里叶变换的缺点北京科技大学机械工程学院41/102小波(wavelet)是什么在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数具有有限的持续时间和突变的频率和振幅在有限的时间范围内，它的平均值等于零傅里叶分析的基函数小波分析的基函数小波介绍北京科技大学机械工程学院42/102部分小波许多缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，Morlet小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的小波介绍北京科技大学机械工程学院43/102小波简史小波变换(wavelettransform)是什么老课题：函数的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform1909:AlfredHaarAlfredHaar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haarwavelets)北京科技大学机械工程学院44/1021980：Morlet20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家JeanMorlet提出小波变换(wavelettransform，WT)的概念。20世纪80年代,开发了连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)1986：Y.Meyer法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数用缩放(dilations)与平移(translations)均为2j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展小波简史北京科技大学机械工程学院45/1021988：Mallat算法法国科学家StephaneMallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法.该算法统一了在此之前构造正交小