2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)

1、12019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一）1.如图所示，四棱锥PABCD-中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，2PDAB==，点,,EFG分别为,,PCPDBC的中点.(1)求证：EFPA；(2)求二面角DFGE--的余弦值.2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADEBCF-和一个正四棱锥PABCD-组合而成，AFAD，2AEAD==.(1)证明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱锥PABCD-的高h，使得二面角CAFP--的余弦值是223.23.四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为23的菱形，ADC为锐角，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PD∥面ACM．（Ⅱ）求证：PACD．（Ⅲ）求三棱锥PABCD的体积．4.如图，四棱锥SABCD满足SA面ABCD，90DABABC．SAABBCa，2ADa．（Ⅰ）求证：面SAB面SAD．（Ⅱ）求证：CD面SAC．SCBADMCBAPD35.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，测棱PD底面ABCD，PDDC，点E是。

2、BC的中点，作EFPB交PB于F．（Ⅰ）求证：平面PCD平面PBC．（Ⅱ）求证：PB平面EFD．6.在直棱柱111ABCABC中，已知ABAC，设1AB中点为D，1AC中点为E．（Ⅰ）求证：DE∥平面11BCCB．（Ⅱ）求证：平面11ABBA平面11ACCA．EDABCC1B1A1DABCEFP47.在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，//ABCD，ABAD，PAPB，::2:2:1ABADCD.（1）证明BDPC；（2）求二面角APCD的余弦值；（3）设点Q为线段PD上一点，且直线AQ平面PAC所成角的正弦值为23，求PQPD的值.8.在正方体1111ABCDABCD中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若λ=2，求证：平面CDE⊥平面CD1O.59.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，135BCD∠，侧面PAB⊥底面ABCD，90BAP∠，2ABACPA，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC．（。

3、Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB．（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所在的角相等，求PMPD的值．10.如图，在三棱柱111ABCABC，1AA⊥底面ABC，ABAC⊥，1ACABAA，E，F分别是棱BC，1AA的中点，G为棱1CC上的一点，且1CF∥平面AEG．（1）求1CGCC的值．（2）求证：1EGAC⊥．（3）求二面角1AAGE的余弦值．A1B1C1GFABCEMFECBAPD611.如图，在四棱锥PABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，ADBC∥，ADAB⊥，且3PBABAD，1BC．（Ⅰ）若点F为PD上一点且13PFPD，证明：CF∥平面PAB．（Ⅱ）求二面角BPDA的大小．（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CMPA⊥？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．12.如图，在四棱锥EABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，CDAB∥，BCCD⊥，EAED⊥，4AB，2BCCDEAED．Ⅰ证明：BDAE⊥．Ⅱ求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．DABCEPFDBCA713。

4、.己知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，且2PAAB．60ABC，BC、PD的中点分别为E，F．（Ⅰ）求证BCPE．（Ⅱ）求二面角FACD的余弦值．（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平行于平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．14.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE∥，3DEAF，BE与平面ABCD所成角为60．（Ⅰ）求证：AC平面BDE．（Ⅱ）求二面角FBED的余弦值．（Ⅲ）设点M线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．FECBADPDABCEF815.如图，PA面ABC，ABBC，22ABPABC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM平面PBC．（Ⅱ）求二面角APCB的余弦值．（Ⅲ）在线段PC上是否存在点D，使得BDAC，若存在，求出PDPC的值，若不存在，说明理由．16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面,//,PADABCDE是PB的中点,2,5,3,2AHPDPAABADHD.（1）。

5、证明：PH⊥平面ABCD；（2）若F是CD上的点，且23FCFD，求二面角BEFC的正弦值.MDABCP917.如图，DC⊥平面ABC，//EBDC，22ACBCEBDC，120ACB，Q为AB的中点．（Ⅰ）证明：CQ⊥平面ABE；（Ⅱ）求多面体ACED的体积；（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．18.如图1,在△ABC中，AB=BC=2,∠B=90°,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE，沿AC将△ACE折起，使得平面ACE⊥平面ABC,如图2.(1)在图2中，设M为AC的中点，求证:BM丄AE；(2)在图2中，当DE最小时，求二面角A-DE-C的平面角.1019.如图所示，在已知三棱柱ABF-DCE中，90ADE，60ABC，2ABADAF，平面ABCD⊥平面ADEF，点M在线段BE上，点G是线段AD的中点．（1）试确定点M的位置，使得AF∥平面GMC；（2）求直线BG与平面GCE所成角的正弦值．20.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC=AB，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点.（Ⅰ）求证：AF。

6、∥平面PCE；（Ⅱ）若22ABAP，求平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值.1121.如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，,2BCDPDBCCD1,2ADAPPD.（1）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（2）求二面角P-AB-C的余弦值.22.如图（1）所示，已知四边形SBCD是由Rt△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中90SABSDC.且点A为线段SD的中点，21ADDC，2AB.现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S-AB-C的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC，点E，F分别在线段SB，SC上.（Ⅰ）证明：BDAF；（Ⅱ）若三棱锥B-AEC的体积为四棱锥S-ABCD体积的25，求点E到平面ABCD的距离.1223.四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，,BCCD060SDASDC，ADDC1122BCSD，E为SD的中点.（1）求证：平面AEC⊥平面ABCD；（2）求BC与平面CDE所成角的余弦值.24.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，P。

7、A⊥AC，BA=BC=PA=2，二面角P-AC-B的大小为120°.（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角P-BC-A的正切值.1325.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，090BCDABC，ABCBDCPDPA21，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P-AB-D的余弦值.26.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=22，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出PDPM的值；若不存在，请说明理由．14试卷答案1以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz-，则()0,0,0D，()0,2,0A，()2,0,0C-，()0,0,2P，()1,0,1E-，()0,0,1F，()2,1,0G-.(1)∵()0,2,2PA=-，()1,0,0EF=，则0PAEF?，∴PAEF^.(2)易知()0,0,1。

8、DF=，()2,11FG=--，设平面DFG的法向量()111,,mxyz=，则00mDFmFGì?ïíï?î，即1111020zxyzì=ïí-+-=ïî，令11x=，则()1,2,0m=是平面DFG的一个法向量，同理可得()0,1,1n=是平面EFG的一个法向量，∴210cos,552mnmnmn×===´×，由图可知二面角DFGE--为钝角，∴二面角DFGE--的余弦值为105-.2.(1)证明：直三棱柱ADEBCF-中，AB^平面ADE，所以：ABAD^，又ADAF^，所以：AD^平面ABFE，ADÌ平面PAD，所以：平面PAD^平面ABFE.(2)由(1)AD^平面ABFE，以A为原点，,,ABAEAD方向为,,xyz轴建立空间直角坐标系15Axyz-，设正四棱锥PABCD-的高h，2AEAD==，则()0,0,0A，()2,2,0F，()2,0,2C，()1,,1Ph-.()2,2,0AF=，()2,0,2AC=，()1,,1APh=-.设平面ACF的一个法向量()111,,mxyz=，则：1111220220mAFxynACxzì?+=ïíï?+=î，取11x=，则111。

9、yz==-，所以：()1,1,1m=--.设平面AFP的一个法向量()222,,nxyz=，则222222200nAFxynAPxhyzì?+=ïíï?-+=î，取21x=，则21y=-，21zh=--，所以：()1,1,1nh=---，二面角CAFP--的余弦值是223，所以：()211122cos,3321mnhmnmnh?++===++，解得：1h=.3.EODPABCM（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，则O是BD中点，∵在PBD△中，O是BD的中点，M是PB的中点，∴PDMO∥，又PD平面ACM，MO平面ACM，16∴PD∥平面ACM．（Ⅱ）证明：作PECD⊥，则E为CD中点，连结AE，∵底面ABCD是菱形，边长为2，面积为23，∴11sin222sin22322SADDCADCADC，∴3sin2ADC，60ADC，∴ACD△是等边三角形，∴CDAE⊥，又∵CDPE⊥，∴CD⊥平面PAE，∴CDPA⊥．（Ⅲ）11233233PABCDABCDVSPE．4.DABCSE（1）证明：∵SA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴AB。

10、SA⊥，又∵90BAD，∴ABAD⊥，∵SAADA，∴AB⊥平面SAD，又AB平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．（Ⅱ）证明：取AD中点为E，∵90DABABC，2ADa，BCa，E是AD中点，∴ABCE是矩形，CEABa，DEa，17∴2CDa，在ACD△中，2ACa，2CDa，2ADa，∴222ACCDAD，即CDAC⊥，又∵SA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CDSA⊥，∴CD⊥平面PAC．5.PFECBAD（Ⅰ）证明：∵PD底面ABCD，BC平面ABCD，∴PDBC，又∵底面ABCD为矩形，∴BCCD，∴BC平面PCD，∵BC平面PBC，∴平面PCD平面PBC．（Ⅱ）证明：∵PDDC，E是PC中点，∴DEPC，又平面PCD平面PBC，平面PCD平面PBCPC，∴DE平面PBC，∴DEPB，又∵EFPB，EFDEE，∴PB平面EFD．186.EA1B1C1CBAD（Ⅰ）证明：连结1AB，∵D是1AB的中点，∴D是1AB的中点，∵在1ABC△中，D是1AB的中点，E是1AC的中点，∴DEBC∥。