锁相环原理

§1-2锁相环路的工作原理锁相环路实质上是一个相差自动调节系统。为了掌握环的工作原理，理解环路工作过程中发生的物理现象，必须导出环路的相位数学模型和微积分方程。为此，首先必须了解组成基本锁相环路各部件的功能模型，然后串联起来就组成了锁相环路的相位数学模型，昀后列出微积分方程。§1-2-1主要部件的功能模型锁相环路由三个基本部件组成如图1－1所示。图中vi(t)和vo(t)分别表示环路的图1－1基本锁相环路的组成输入、输出信号电压。现将三个基本部件的工作原理分述如下：1、鉴相器鉴相器的任务是对它的两个输入信号进行比较。当环路锁定时，鉴相器输出正比于这两个输入信号相位差的直流电压Vd。鉴相器的电路形式很多，有模拟的、取样的和数字的。作为原理分析，通常使用正弦特性的鉴相器。理由是正弦理论比较成熟，分析简单方便，实际上各种鉴相特性当信噪比降低时，都趋向于正弦特性。原则上，任何一种理想的模拟乘法器都可以作为具有正弦特性的鉴相器，如图1－2所示。输入信号vi(t)和压控振荡器的输出信号vo(t)分别加到乘法器的两个输入端。设输入信号为vi(t)=Visin[ωit+θi(t)](1-1)式中，Vi为输入信号的振幅；ωi为输入信号的角频率；θi(t)为输入信号以其载波相位ωit为参考的瞬时相位。压控振荡器输出信号为vo(t)=Vocos(ωot+θo(t))(1－2)式中，V0为压控荡器输出信号的振幅；ωo为压控荡器固有角频率；LG9904YYPθo(t)为压控振荡器输出的信号以其固有振荡相位ωot为参考的瞬时相位。图1－2等效鉴相器(乘法器)一般情况下，两个输入信号的频率是不相同的。但是，相位比较只有在相同频率情况下才有意义，所以为了适应鉴相器进行同频比相的需要，现统一以压控振荡器固有振荡相位ωot为参考。故需重新定义vi(t)的瞬时相位。现将输入信号瞬时相位改写为[ωi(t)+θi(t)]=ωot+[(ωι−ωο)t+θi(t)]=ωot+θ1(t)(1－3)式中，θ1(t)=(ωι−ωο)t+θi(t)=Δωot+θi(t)(1－4)这里θ1(t)是以固有振荡相位ωot为参考的输入信号瞬时相位。压控振荡器输出瞬时相位保持原来表示法，只是为了书写统一。将θot＝θ2t代替，可写成ωot+θ0(t)=ωot+θ2(t)(1－5)根据以上重新定义的瞬时相位，vi(t)和vo(t)可以分别定写成为vi(t)=Visin[ωot+θ1(t)](1－6)vo(t)=Vocos[ωot+θ2(t)](1－7)经过乘法器之后的输出信号电压为vd(t)=Kmvi(t)vo(t)=KmVisin[ωot+θ1(t)]Vocos[ωot+θ2(t)]＝KmViVosin[2ωot+θ1(t)+θ2(t)]+KmViVosin[θ1(t)－θ2(t)]1212式中Km为乘法器的倍增系数，量纲为1/V。上式中的第一项是和频项，即2ωo项。因为鉴相器输出的高频分量2ωo被环路滤波器的低通特性所抑制，所以乘法器实际的输出电压为vd(t)＝KmViVosin[θ1(t)－θ2(t)](1－8)12令Kd=KmViVo式中，Kd为鉴相灵敏度，单位是V/rad；12令θe=θ1(t)－θ2(t)=Δωot+θi(t)－θ2(t)(1－9)式中，θe(t)为两输入信号的瞬时相差。因此，(1－8)式就可以写为LG9904YYPvd(t)=Kdsinθe(t)(1－10)这就是正弦鉴相器的数学模型。按(1－10)式画的正弦鉴相特性曲线如图1－3所示。上述鉴相器的功能可以分解为两个作用，首先是起到一个相位减法的作用，即检取两个输入信号之间的相位差；其次再把相位误差转换为误差电压输出，所以它是一个相位差转换为电压的转换器。由此可以作出正弦鉴相器的功能模型如图1－4所示。图1－3正弦鉴相特性图1－4正弦鉴相器的功能模型顺便指出一点，在上面推导过程中，将两个输入信号分别表示为正弦和余弦形式，即正交信号输入形式。实际上，两个输入信号都用正弦或余弦信号表示也是可以的，只不过得到的将是余弦鉴相特性。有些锁相技术参考书中是这样表示的。然而，不论是正弦或余弦鉴相特性，环路稳定工作区域将处于特性的线性区域内。若以环路锁定时鉴相器输出电压等于零为标志，锁定时则正弦鉴相器与余弦鉴相器仅相差π/2。显然，使用正弦特性分析比较方便。当ωo=ωi环路锁定时，理想正弦鉴相器输出θe(t)＝0，这并不意味着鉴相器两个信号相位差等于0，而是表示两输入信号相位差是π/2。这是由于正弦鉴相特性是根据两输入信号之间正交的前提下导出的。2、环路滤波器环路滤波器是一个线性低通滤波器，其作用是滤除鉴相器输出误差电压中的高频分量，起到滤波平滑作用，以保证环路稳定、改善环路跟踪性能和噪声特性。这是一个很重要的部件。通常由R，C元件(有时使用运算放大器)组成。因为它是一个线性系统，使用传递函数就可以表示它的基本特性。假设环路滤波器输入电压为vd(t)，输出电压为ve(t)，若不考虑电路的初始扰动，则环路滤波器的传递函数F(s)可以写成F(s)=(1－11)Vc(s)Vd(s)式中Vc(s)为输入电压的拉氏变换式；Vd(s)为输出电压的拉氏变换式；LG9904YYPF(s)可以写成“s”的两个多项式之比的形式，即F(s)=＝Vc(s)Vd(s)amsm+am−1sm−1+…aobn−1sn−1+bn−2sn−2+…bo=(1－12)g(s−z1)(s−z2)…(s−zm)(s−p1)(s−p2)…(s−pn−1)如果滤波器是物理可实现的，则一般满足m≤n－1。注意：这里将滤波器传递函数的分母阶次写成(n－1)阶，目的是为了适应n阶锁相环路的传递函数分母为p的n阶形式而写出的。(1－12)式为环路滤波器的复频域方程。如果写时域方程则可写成F(p)=vc(t)vd(t)或vc(t)=F(p)vd(t)(1－13)式中“p”代表微分符号“d/dt”，(1－13)式就是环路滤波器的微分方程，其功能模型如图1－5所示。图1－5环路滤波器的功能模型图1－6压控振荡器控制特性这里指出一点，在以下分析中，严格地说：凡是在原函数(时域)方程中各种传递函数的自变量要用p（微分算子）；在象函数（复频域）方程中要用s（拉氏算子），但本教材为了书写和运用方便起见，它们可以统一使用，即F(s)=F(p)|p=s或F(jω)=F(p)|p=jω，这样可避免符号方面变化而引起的混乱。3、压控振荡器在锁相环路中，压控振荡器起着电压转换为相位的作用。其振荡频率的相位受滤波器输出电压vc(t)的控制，而其输出信号的相位随环路输入信号相位变化而变化，从而保持相位跟踪。压控振荡器的控制特性指的是它的瞬时角频率ωv与控制电压Vc之间的关系。若取其曲线的线性区域的中心为静态工作点，并以此作为坐标原点，则所得ωv=f(Vc)关系曲线如图1－6所示。图上的中心频率是压控振荡器未加控制电压，而仅有静态偏压时的振荡频率ωo，ωo称为压控振荡器固有振荡频率，而瞬时角频率ωv是以ωo为LG9904YYP中心变化的。在较大范围内ωv应与Vv成线性关系。在此线性范围内，根据图1－6得到压控振荡器的控制特性方程为ωv(t)＝ωo+tgαvc(t)=ωo+Kovc(t)(1－14)式中Ko=tgα=是压控振荡器控制特性曲线的斜率，表示在单位控制电压作*vVc用下，压控振荡器角频率变化的大小。因此又称之为压控灵敏度，单位rad/(sV)。在锁相环路中，从鉴相特性看来，压控振荡器输出信号对鉴相器起作用的不是它的瞬时角频率而是它的瞬时相位，因此压控振荡器瞬时相位可由(1－14)式的积分求得(1－15)ٛ¶0t*V(t)dt=*0t+K0ٛ¶0tvc(t)dt将此式与(1－7)式相比较，可见以ωot为参考的输出瞬时相位是(1－16)2(t)=K0ٛ¶0tvc(t)dt为了分析方便，若将(1－16)式中积分符号用微分符号p的倒数表示，则(1－16)式可写为θ2(t)=Ko(1－17)vc(t)p因此压控振荡器的功能模型如图1－7所示。图1－7压控振荡器的功能模型图1－8锁相环路的相位数学模型顺便指出，在有些参考资料中常将压控振荡器输出相位当作输入相位的估值，并用θ(t)表示，它就等于这里的θ2(t)。§1－2－2相位数学模型和基本方程将图1－4、图1－5、图1－7的三个基本环路部件的功能模型按环路的组成次序联接起来，就可构成相位反馈系统的数学模型，如图1－8所示，从图1－8中可以清楚地看出，这个调节系统的给定值是输入信号的相位θ1(t)，系统的受调节值是压控振荡器的输出相位θ2(t)。因为输出相位能够直接加到鉴相器上进行相位比较，无需反馈网络进行变换，所以它又是一个单位反馈系统。图1－8是明确地表示了环路相位的反馈调节关系，故又称之为环路相位数学模型。LG9904YYP根据图1－8，结合基本部件的数学关系式(1－10)、(1－13)、(1－17)可以得到环路的瞬时相差表示式θe(t)=θ1(t)-θ2(t)=θ1(t)-Kovc(t)p＝θ1(t)－KoKdF(p)sinθe(t)(1－18)1p(1－18)式为锁相环路以相位形式表示的环路微分方程。若将方程(1－18)两边对t求导数并移项，则得到pθe(t)+KoKdF(p)sinθe(t)=pθ1(t)(1－19)方程(1－19)是以角频率形式表示的环路微分方程，它概括了环路动态工作时各频率之间的平衡关系，为了分析简便起见。假定输入信号是一种频率和相位都不变的正弦信号，即为vi(t)=Visin(ωit+θio)式中ωi和θio为不随时间变化的量。根据(1－4)式输入相位为θi(t)=(ωi－ωo)t+θio=Δωot+θio(1－20)(1－20)式两边对t求导数，则有pθ1(t)=ωi－ωo=Δωo(1－21)这里Δωo=ωi－ωo为输入信号频率与压控振荡器固有频率之差，称为固有频差。(1－19)式等号左边第一项为pθe(t)=pθ1(t)－pθ2(t)＝ωi－ωv=Δωe这里Δωe是输入信号ωi与压控振荡器输出信号频率ωv之间的频差称为瞬时频差。(1－19)式等号左边第二项为KoKdF(p)sinθe(t)＝pθ2(t)=Kovc(t)＝ωv－ωo=Δωv这里Δωv是压控振荡器受控制电压作用之后的瞬时频率ωv与压控振荡器固有振荡频率ωο之差，称为控制频差。于是根据以上分析可以得到Δωe+Δωv=Δωo(1－22)(1－22)式描述了环路动态频率平衡关系。在任何时间t，环路瞬时频差Δωe与控制频差Δωv之和总是等于环路的固有频差Δωo，当环路相位锁定时，Δωe＝0，则Δωv＝Δωο，即环路的控制频差Δωv等于环路的固有频差Δωo。对于环路相位数学模型与环路微分方程的推导过程，必须强调指出：(1)图1－1与图1－8是不相同的。前者是只说明环路组成的方框图；后者是描述环路相位关系的相位数学模型。而相位数学模型图1－8以及与它对应的微分方程(1－18)式，只给出了环路输出瞬时相位θ2(t)与输入瞬时相位θ1(t)之间关系。而并不LG9904YYP给出输出电压vo(t)与输入电压vi(t)之间的关系，也不是输出频率与输入频率之间的关系。由于锁相环路是一个传递相位的闭环系统，只要研究相位数学模型或它的微分方程就可以获得这个系统完整的性能。下边所讨论的环路各种性能－－传递函数、幅频特性、相频特性、环路带宽等，都是对输入信号的相位θ1(t)而言的，并不是对输入信号的电压或频率而言的，这一点务必请读者注意。(2)环路微分方程pθe(t)＝pθ1(t)－KoKdF(p)sinθe(t)是一个非线性微分方程。非线性主要来源于鉴相器，鉴相特性函数sinθe(t)是一个非线性函数。方程(1－18)的阶数取决于F(p)/p的阶数，即取决于滤波器传递函数F(p)的阶数加1，因为压控振荡器等效于一个一阶理想积分器，即如果方程阶段数是n阶，环路滤波器阶数应是(n-1)阶。求解这个微分方程可以确定环路工作的全部性能。但是目前只能对一阶(即F(p)=1)环路才