函数的奇偶性.ppt

从生活中这些图片中你感受到了什么1.请欣赏：这些几何图形中又体现了什么1.继续欣赏：观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类:Ox①2)(xxfy③Oxy||)(xxfOxyxxf)(④②Oxy||1)(xxfOxy⑤3)(xxfyxO)0(1)(xxxf⑥函数的奇偶性GraduateSchoolofJiangxiNormalUniversityHai-GenXiao观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性？xog(x)=x2y关于y轴成轴对称oxy关于原点成中心对称x1观察函数f(x)=的图象，看看它具有怎样的对称性？21)2(f21)2(f31)3(f31)3(f1)1(f1)1(f)(11)(xfxxxf为奇函数函数xxf1)(有怎样的关系？与的值，并思考，求由)()()3(),3(),2(),2(),1(),1(1)(xfxfffffffxxf关于原点成中心对称x1观察函数f(x)=的图象，看看它具有怎样的对称性？xyo……观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性？xog(x)=x2y关于y轴成轴对称由g(x)=x2求g(-1)、g(1)、g(-2)、g(2)、g(-3)、g(3)的值，并思考g(-x)与g(x)有怎样的关系？g(-1)=(-1)2=1g(1)=12=1g(-2)=(-2)2=4、g(-3)=(-3)2=9、g(3)=32=9、g(-x)=(-x)2=x2=g(x)函数g(x)=x2为偶函数……g(2)=22=4、定义：如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)注意：(1)当X∈A时,-X∈A(定义域关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)。(2)f(-x)=-f(x)注意：(1)当X∈A时,-X∈A(定义域关于原点对称）(2)f(-x)=f(x)观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性？xog(x)=x2y关于y轴成轴对称oxy关于原点成中心对称x1观察函数f(x)=的图象，看看它具有怎样的对称性？函数是奇函数结论：函数是偶函数函数图象关于坐标原点对称函数图象关于y轴对称定义辨析，强化内涵2()fxx1,2x0x123-1-2-3123456y不是。观察下面的函数的图象关于y轴对称吗？思考：如果一个函数的图象关于y轴对称，它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称.☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1)函数具有奇偶性：定义域关于原点对称。对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(2)若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立.图象关于原点对称图象关于y轴对称xo[a,b][-b,-a]3.强化定义，深化内涵(3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质；既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈［－１，２］（5）f(x)=0解：（1）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为Ｒ，又因为f(－x)=（－x）+（－x）3+（－x）5当X∈R时,-X∈R＝－x－x3－x5＝－（x+x3+x5）＝－f(x)所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。所以，函数f(x)=x2+1是偶函数又因为f(－x)=（－x）2+1解：（２）函数f(x)=x2+1的定义域为Ｒ，当X∈R时,-X∈R=x2+1＝f(x)例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈［－１，２］（5）f(x)=0例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈［－１，２］（5）f(x)=0解：（3）函数f(x)=x+1的定义域为Ｒ，当X∈R时,-X∈R又因为f(－x)=（－x）+1＝－（x－1）而－f(x)=－x－1所以f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)因此函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数。解4）因为２∈［－１，２］，而－２［－１，２］所以函数f(x)=x2，x∈［－１，２］既不是奇函数也不是偶函数。例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈［－１，２］（5）f(x)=05）函数f(x)=0的定义域为Ｒ，当X∈R时,-X∈R又因为f(－x)=0，f(－x)=0所以f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)因此函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数。用定义法判断或证明函数奇偶性的基本步骤：注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。一看看定义域是否关于原点对称二找找关系f(x)与f(-x)三判断下结论奇或偶1、口答下列各题：（1）函数f(x)=x是奇函数吗？（2）函数g(x)=2是奇函数还是偶函数？（3）如果y=h(x)是偶函数，当h(-1)=2时，h(1)的值是多少？(1)、f(x)=x是奇函数(2)、g(x)=2是偶函数(3)、h(1)=h(-1)=22、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，如图（1）、（2）分别是他们的局部图象，试求f(-2)，g(1)，并把这两个函数的图象补充完整。x43210-1-2-3-4213-3y-2-1f(x)(1)3210-1-323-3-2-14y1-2x(2)g(x)f(-2)=-f(2)=-2g(1)=g(-1)=1x43210-1-2-3-4213-3y-2-1f(x)（1）x3210-1-323-3-2-14y1-2g(x)(2)课堂小结：1、一般地，如果对于函数f(x)定义域中的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；如果对于函数定义域中的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。2、一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形。图象关于y轴对称f(-x)=f(x)偶函数图象关于原点对称f(-x)=-f(x)奇函数4、根据定义判断函数奇偶性的方法和步骤：第一步，先写出函数的定义域；第二步，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若是对称，进行第三步；第三步，判断f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=－f(x)，则是奇函数，若f(-x)=f(x)，则是偶函数，若f(-x)=－f(x)，且f(-x)=f(x)，则既是奇函数又是偶函数，若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则既不是奇函数也不是偶函数。3、对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数。课堂小结：