2015中考专项训练-特殊三角形

第1页第21讲特殊三角形1．等腰三角形(1)性质：__两腰__相等，__两底角__相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；是轴对称图形，有__1__条对称轴；面积S＝12ah(h是边a上的高)；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形．2．等边三角形(1)性质：__三边__相等，三内角都等于__60°__；是轴对称图形，有__3__条对称轴；面积S＝12ah(h是边a上的高)．(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形在△ABC中，∠C＝90°.(1)性质：边与边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝__c2__；(2)角与角的关系：∠A＋∠B＝__90°__；(3)边与角的关系：若∠A＝30°，则a＝12c，b＝32c；若a＝12c，则∠A＝30°；若∠A＝45°，则a＝b＝22c；若a＝22c，则∠A＝45°；SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中a，b为两个直角边，c为斜边，h为斜边上的高，Rt△ABC内切圆半径r＝a＋b－c2，外接圆半径R＝c2＝斜边上的中线．(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．一个方法面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．两个特殊角：在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30°、45°这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．三个防范(1)在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．(2)有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然．(3)在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边，从而造成误解．第2页(2013·陕西)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为__123__．等腰三角形有关边角的讨论【例1】(1)(2014·盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(D)A．40°B．50°C．60°D．70°(2)(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是(B)A．27B．36C．27或36D．18【点评】在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论．1．(2014·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(B)A．30°B．45°C．60°D．90°等腰三角形的性质【例2】(2014·杭州)在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．解：在△ABF和△ACE中，AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，∴△ABF≌△ACE(SAS)，∴∠ABF＝∠ACE(全等三角形的对应角相等)，∴BF＝CE(全等三角形的对应边相等)，∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF，在△BEP和△CFP中，∠BPE＝∠CPF，∠PBE＝∠PCF，BE＝CF，∴△BEP≌△CFP(AAS)，∴PB＝PC，∵BF＝CE，∴PE＝PF，∴图中相等的线段为PE＝PF，BE＝CF，BF＝CE【点评】在证明线段相等时，利用全等三角形的对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解题方法之一．2．(2012·肇庆)如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．第3页解：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°，在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD，∴△ACB≌△BDA(HL)，∴BC＝AD(2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA，∴△OAB是等腰三角形等边三角形【例3】(2013·聊城)如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__33__.【点评】在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件．3．(2014·益阳)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.直角三角形、勾股定理【例4】(1)(2014·无锡)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__8__．,第(1)题图),第(2)题图)(2)(2013·山西)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为__103__．【点评】在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法．4．(2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__10__米．试题在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度数．错解解：如图①，在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠C＋∠CAD＝90°，∠C＋∠HBD＝90°，∴∠HBD＝∠CAD.第4页又∵BH＝AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD＝AD.∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°.正解解：这里的∠ABC有两种情况，∠ABC是锐角(图①)或∠ABC是钝角(图②)．如图②，在Rt△BHD和Rt△ACD中，易得∠DCA＝∠DHB.又∵AC＝BH，∴△DHB≌△DCA，∴AD＝DB，∴∠DBA＝45°，∴∠ABC＝135°.综上：∠ABC＝45°或∠ABC＝135°.试题已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求∠BAC的度数．错解解：如图③，∵AD⊥BC，AD＝12BC＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝90°.剖析(1)对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则容易出现错解或漏解的错误．(2)当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面．正解解：题目中并没有指明BC是等腰△ABC的底或腰．当BC为底时，可求得∠BAC＝90°；当BC为腰时，还应对∠B的大小进行讨论：(1)当顶角B是锐角时，如图④，∵AD＝12BC＝12AB，AD⊥BC，∴∠B＝30°，从而∠BAC＝∠C＝75°.(2)当顶角B为直角时，高AD和腰AB重合，与已知矛盾，故∠B≠90°.(3)当顶角B为钝角时，如图⑤，∵AD＝12BC＝12AB，AD⊥BC，∴∠DBA＝30°，从而∠BAC＝∠C＝12∠DBA＝12×30°＝15°.综上，∠BAC的度数为90°或75°或15°.第5页考点跟踪突破21特殊三角形一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(C)A．30°B．60°C．90°D．120°,第1题图),第2题图)2．(2013·攀枝花)如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝(A)A．30°B．35°C．40°D．50°3．(2014·广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为(A)A．17B．15C．13D．13或174．(2014·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，2，35．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，C重合)，且保持AE＝CF，连接DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为2.其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·临夏)等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则BC边上的高是__8__cm.7．(2014·呼和浩特)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为__63°或27°__．8．(2013·黄冈)已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝__3__．9．(2014·凉山)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为__5或7__．10．(2013·张家界)如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝2；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2012＝__2013__．三、解答题(共40分)第6页11．(10分)(2014·襄阳)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．解：(1)①②；①③(2)选①③证明如下，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠EBO＝∠DCO，又∵∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形12．(10分)(2014·温州)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝413．(10分)(2012·泰安)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，点F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗，若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°，∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA