信号与系统离散傅里叶变换

1第6章离散傅里叶变换6.3离散时间系统的频域分析6.2离散时间傅里叶变换6.4离散傅里叶变换6.5信号频谱的数值计算6.6离散傅里叶变换的性质6.7快速傅里叶变换简介6.1引言26.1引言1、从连续信号频域分析看到：从频域角度可以获得对LTI系统性质的更加深入的了解，使系统的分析与设计更加直观﹑方便，与时域分析互补。6.1引言3、本章学习注意：（1）与连续情况对应关系并找出相似之处和重要区别；2、从第二章时域和第四章的复频域看到：连续信号与系统和离散信号与系统之间可以通过抽样联系起来，二者在时域和复频域中均有对应关系。本章将会看到，二者在频域之间也有对应关系。3（1）实际信号与计算机能处理的信号之间的矛盾；实际信号的特点：时域：连续时间信号，持续时间较长频域：频谱连续数字处理设备（计算机）的特点存储空间有限：只能存储有限多数据（离散的数据点，有限长的时间范围）表示空间有限：只能表示有限多的数值（取值在一定精度内，取值在一定范围内）4、本章要解决的问题：6.1引言（2）以理论分析为依据，以工程实现为目的。4（6）如何用计算机实现4种信号的频谱分析；6.56.1引言（3）有限长序列频谱的计算与存储频谱是连续周期的，只能存储有限长的频谱（一个周期即可）；只能存储有限多的频谱（离散频率点处的频谱值）。（4）如何用计算机直接计算序列的离散频谱和反之；6.4（5）信号被截短时，频谱发生什么变化；6.5（2）如何从抽样信号计算原信号的频谱；6.256.2离散时间傅里叶变换6.2离散时间傅里叶变换连续非周期信号()xtT，02Td0k0kFT()()jtXxtedtDTFT()[]jnnXxneIFT1()()2jtxtXedIDTFT1[]()2jnxnXed连续1、比较FT和DTFT02Nd，n离散连续t连续[]xn离散非周期信号66.2离散时间傅里叶变换2、对DTFT的说明频谱密度连续，()综合式IDTFT1[]()2jnxnXed序列离散()n()[]jnnXxne分析式DTFT①分析式DTFT是的周期函数，综合式IDTFT不是n的周期函数，jnNjnee2Nm以为周期因为：n为整数2jnjneeπ276.2离散时间傅里叶变换连续频谱密度是积分式有利因素：频谱密度可利用离散点的数据计算，为利用计算机提供了可能。由于周期2s所以不利因素：计算机无法直接处理和存储连续频谱，数字处理遇到困难。()X[]xn积分范围是π2是求和式②由于非周期且非时限，N[]xn是离散序列()X对无穷多项求和所以8④()()Re[()]Im[()]jXXeXjX⑤若SM()()ssTXTXsT对应dt6.2离散时间傅里叶变换，由带限()xt抽样得到样本[]xn的DTFT可得FT[]nxn③若，则的DTFT存在，即收敛。[]xn⑥()()[][]jjnjnzezennXXzxnzxneROC包含单位圆96.2离散时间傅里叶变换3、典型信号的DTFT][][nanxn的离散时间傅里叶变换，其中1||a例6-1求解：j0j0je11)e(e)(aaaXnnnnn21()12cos()Xaa1sin()()tan1cos()aa0212345323(rad)|)(|X-60-40-2020406002323(rad))(10解：1]e[]e[)(jjnnnnnX例6-2求序列][][nnx的傅里叶变换6.2离散时间傅里叶变换例6-3求序列1][nx的傅里叶变换。解：ROC边界在单位圆，信号不满足绝对可和的条件。但可以仿照连续时间信号情况，在变换中引入冲激函数。由于离散时间信号的傅里叶变换是以为周期的，考察下式给出的等间隔冲激频谱函数：π2kkX)π2(π2)(利用逆变换公式得1de)(π2π21][ππjnnx因此kk)π2(π2111解：由求解逆傅里叶变换的公式有πjπ1[]()ed2πnhnHCCj1ed2πnCsin()πnn从图中可以看出，离散时间系统的理想低通滤波器的样值响应，与连续时间系统的理想低通滤波器的冲激响应类似，即在输入没有加入前就已有了响应。说明离散时间系统的理想低通滤波器也是一个非因果系统。6.2离散时间傅里叶变换例6-4若离散时间系统的理想低通滤波器频率特性)(H如图所示，求它的逆傅里叶变换][nh（即单位样值响应）。01()X22n0][n1LPFn][nh-12-8-448120.250O)(HCC1224C126.3离散时间系统的频域分析6.3离散时间系统的频域分析1.离散时间傅里叶变换的性质2.离散时间系统的频域分析131.离散时间傅里叶变换DTFT的性质（1）周期性、连续性周期性：是离散信号的DFS、DTFT的共性，有别于的FS、FT。[]xn()xt注意与FT对应，与Z变换对应连续性：是非周期时间信号、()xt[]xn的FT、DTFT的共性，有别于周期信号的FS、DFS。6.3离散时间系统的频域分析1.离散时间傅里叶变换的性质14（2）线性（所有线性变换的共性）设、的傅里叶变换分别为及][1nx][2nx)(1X)(2X)()(][][22112211XaXanxanxa其中、为任意常数1a2a则6.3离散时间系统的频域分析1.离散时间傅里叶变换的性质（3）移位（与FT一致）若是傅里叶变换对，则有：)(][Xnx)(e][0j0Xnnxn时移相移00(()jtxttXe频域移位：)(][e0j0Xnxn00()jteX时域移位：调制频移15（4）时域线性加权（频域微分）（与FT一致）)(ddj][Xnnx()()dtxtjxd若是傅里叶变换对，则)(][Xnx时域的线性加权频域的微分（5）反转与对称（与FT一致）若是傅里叶变换对，则)(][Xnx)(][Xnx()()xtX时域反转频域反转)}(Re{]}[Even{Xnx)}(Im{j]}[Odd{Xnx是偶函数，是奇函数即|()|X[][]xnxn实偶[][]xnxn实奇对称][nx为实序列)()(*XX()Re[()]XX实偶()[()]mXjIX虚奇1.离散时间傅里叶变换的性质6.3离散时间系统的频域分析16（6）卷积定理（与FT同）若，，则)(][Xnx)(][Hnh时域卷积：)()(][*][HXnhnx频域卷积：)(*)(π21][][HXnhnx时域加窗、调制、抽样频域卷积时域卷积频域乘积1.离散时间傅里叶变换的性质6.3离散时间系统的频域分析17（7）帕斯瓦尔定理若是傅里叶变换对，则)(][Xnxππ22d)(π21][Xnxn即时域的全部信息量包含在频谱的一个周期内，所以只讨论频谱的一个周期就够了。时域总能量频域一周期内的总能量1.离散时间傅里叶变换的性质6.3离散时间系统的频域分析182.离散时间系统的频域分析6.3离散时间系统的频域分析2.离散时间系统的频域分析时域：][*][][nxnhny频域：)()()(XHY输入信号的频谱函数经系统后变为)()()(XjeXX)()()()()()(HXYHXY在输入信号频谱给定的情况下，要想得到需要的输出频谱结构的过程，实际上是对H(Ω)进行设计的过程。在频域中通过输入输出信号的频谱可清晰地看到系统对信号每个分量的变换过程及对H(Ω)的要求。196.3离散时间系统的频域分析2.离散时间系统的频域分析例6-5求差分方程所描述系统的频响函数H(Ω)。若输入为，求响应y[n]][]1[5.0][nxnyny][)8.0(][nnxn解：对差分方程两边取傅里叶变换，有)()()5.01(XYej由频响函数的定义可知5.0)5.01(1)()()(jjjeeeXYH由于8.0)(jjeeX则8.0385.0355.08.0)()()(2jjjjjjjeeeeeeeHXY取逆变换得][)8.0(38)5.0(35][nnynn206.4离散傅里叶变换6.4离散傅里叶变换1.离散傅里叶级数2.离散傅里叶变换216.4离散傅里叶变换1.离散傅里叶级数DFS1.离散傅里叶级数sTDFS离散周期信号[]xn完备正交系0{}jktke2{}jknNke022SntnTTN02Nt连续k:(-∞,∞)级数0jktkkxtXe210[][]NjknNkxnXkeFS连续周期信号xt0,1NNkk因为：n取整数k:整周期抽样（1）由FS引入DFS22系数001()TjktkXxtedtT2101[][]NjknNnXkxneN理论依据:=2121tktktkktttdtCttdt211tktxttdtBB=T1010[][][][]NkkkNkkkxnnCnn101[][]NkkxnnBB=N（2）对DFS的说明一个周期主值210[][]NjknNkxnxke2101[][]NjknNnxkxneN0,1N0,1N~n一个周期主值~k6.4离散傅里叶变换1.离散傅里叶级数DFS23①对每一个整数n,离散点是一个有限项的级数，求和只需N项。对每一个整数k，是一个有限项的级数，求和只需N项。[]xnXk一个周期主值210[][]NjknNkxnXke2101[][]NjknNnXkxneN0,1N0,1N~n一个周期主值~k周期N点0,1N是周期函数，定义域n:②,[]xn是周期函数，定义域k:[]Xk,周期N点0,1N重要意义：只要计算一个周期的N个点，即可得到全域结果。nk6.4离散傅里叶变换1.离散傅里叶级数DFS在一个周期内有N个谐波分量，第k个谐波分量为：[]Xk24因为周期N，所以离散③[]xn[]Xk02N22sssssTTT因为离散，所以周期[]xn[]Xk即：02kkN故适合计算机工作：离散﹑有限数④DFS总是收敛，因为是有限数项的求和。6.4离散傅里叶变换1.离散傅里叶级数DFS25解：由于所给信号的数字频率为，则该信号的周期N为3063/2N把余弦函数用指数函数表示22j()j()6621[]cos()(ee)62nnxnn由于nnn)5)(62j(1)(6)62j()62j(eee于是22j()j()(5)661[](ee)2nnxn例6-6已知周期离散时间信号)3cos(][nnx级数表示式及相应的频谱。，求傅里叶根据102je][][IDFS][NknkNkXkXnxn域与k域的周期相同6.4离散傅里叶变换1.离散傅里叶级数DF