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九年级(上)期末数学试卷一、选择题(共6小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确选项)1.下列图形中,是中心对称图形的是()A.B.C.D.2.下列事件是随机事件的是()A.小明购买彩票中奖B.在标准大气压下,水加热到100时沸腾C.在一个装有蓝球和黄球的袋中,摸出红球D.一名运动员的速度为40米/秒3.若点A(3﹣m,n+2)关于原点的对称点B的坐标是(﹣3,2),则m,n的值为()A.m=﹣6,n=﹣4B.m=0,n=﹣4C.m=6,n=4D.m=6,n=﹣44.若关于x的方程(a﹣3)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足()A.a≥﹣1且a≠3B.a≠3C.a>﹣1且a≠3D.a≥﹣15.若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是()A.B.C.D.6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0(2)9a>3bc;(3)9a+b+c=0:(4)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣2的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<1<5<x2,其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)7.⊙O的直径为8,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系是.8.关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0的一个根是1,则另一根为.9.抛物线y=x2﹣4x+5向左平移一个单位长度后的对称轴是直线.10.如图,C(3,0),B(2,2),以OC,BC为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比例函数的解析式为.11.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2,则阴影部分图形的面积为.12.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,BC=4cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从点A出发,沿着A→C→A的方向运动,设点E的运动时间为秒(0≤t≤12),连接DE,当△CDE是直角三角形时,t的值为.三.解答题(共84分)13.(1)解方程:x2﹣5=4x;(2)如图,四边形ABCD中,∠C=60°,∠BED=110°,BD=BC,点E在AD上,将BE绕点B逆时针旋转60°得BF,且点F在DC上,求∠EBD的度数.14.如图,在等边三角形ABC中,点E,D分别在BC,AB上,且∠AED=60°,求证:△AEC~△EDB.15.如图,平面直角坐标系中,以点A(2,)为圆心,以2为半径的圆与x轴交于B,C两点.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B,C,试求此二次函数的顶点坐标.16.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠ABC=45°,请用无刻度的直尺按要求作图.(1)如图1,请在图1中画出弦CD,使得CD=AC.(2)如图2,AB是⊙O的直径,AN是⊙O的切线,点B,C,N在同一条直线上请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD.17.在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球,分别标有数字2,3,4.从袋子中随机取出一个小球,用小球上的数字作为十位数字,然后放回,再取出一个小球,用小球上的数字作为个位数字,这样组成一个两位数,请用列表法或画树状图的方法完成下列问题.(1)按这种方法组成两位数45是事件,填(“不可能”、“随机”、“必然”)(2)组成的两位数能被3整除的概率是多少?18.在平面直角坐标系中,抛物线N过A(﹣1,3),B(4,8),O(0,0)三点(1)求该抛物线和直线AB的解析式;(2)平移抛物线N,求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式:①平移后抛物线的顶点在直线AB上;②设平移后抛物线与y轴交于点C,如果S△ABC=3S△ABO.19.平面直角坐标系xOy中,横坐标为a的点A在反比例函数y1=(x>0)的图象上,点B与点A关于原点O对称,一次函数y2=mx+n的图象经过点B.(1)设a=2,点C(4,2)在函数y1,y2的图象上.分别求函数y1,y2的表达式.(2)如图,设函数y1,y2的图象相交于点C,点C的横坐标为3a,△ABC的面积为16,求k的值.20.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接EB的延长线交AC于点F,交⊙O于点D,连接AD,过点D作直线DN,使∠ADN=∠DBC.(1)求证:直线DN是⊙O的切线;(2)若DF=1,且BF=3,求AD的长.21.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)若每天的利润为3780元,为减少库存,销售单价应定为多少元?(2)求销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本x每天的销售量)22.如图1,在等边△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点F,G,H分别是BE,CD,BC的中点(1)观察猜想:图1中,△FGH的形状是.(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,△FGH的形状是否发生改变?并说明理由;(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=2,AB=6,请直接写出△FGH的周长的最大值.23.已知抛物线yn=﹣(x﹣an)2+bn,(n为正整数,且0≤a1<a2<…≤an)与x轴的交点为A(0,0)和An(∁n,0),∁n=Cn﹣1+2,当n=1时,第1条抛物线y1=﹣(x﹣a1)2+b1与x轴的交点为A(0,0)和A1(2,0),其他依此类推.(1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式.(2)抛物线的顶点B坐标为(,);依此类推,第n+1条抛物线yn+1的顶点Bn+1坐标一为(,)所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是;(3)探究下结论:①是否存在抛物线yn,使得△AAnBn为等腰直角三角形?若存在请求出抛物线的表达式;若不存在,请说明理由.②若直线x=m(m>0)与抛物线yn分别交于C1,C2,…,∁n则线段C1,2,C2C3,…,Cn﹣1∁n的长有何规律?请用含有m的代数式表示.参考答案与试题解析一.选择题(共6小题)1.下列图形中,是中心对称图形的是()A.B.C.D.【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项不合题意;B、是中心对称图形,故此选项不合题意;C、不是中心对称图形,故此选项不合题意;D、不是中心对称图形,故此选项不合题意;故选:B.2.下列事件是随机事件的是()A.小明购买彩票中奖B.在标准大气压下,水加热到100时沸腾C.在一个装有蓝球和黄球的袋中,摸出红球D.一名运动员的速度为40米/秒【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.【解答】解:A、小明购买彩票中奖是随机事件;B、在标准大气压下,水加热到100时沸腾是必然事件;C、在一个装有蓝球和黄球的袋中,摸出红球是不可能事件;D、一名运动员的速度为40米/秒是不可能事件;故选:A.3.若点A(3﹣m,n+2)关于原点的对称点B的坐标是(﹣3,2),则m,n的值为()A.m=﹣6,n=﹣4B.m=0,n=﹣4C.m=6,n=4D.m=6,n=﹣4【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆.【解答】解:∵点A(3﹣m,n+2)关于原点的对称点B的坐标是(﹣3,2),∴3﹣m=3,n+2=﹣2,m=0,n=﹣4,故选:B.4.若关于x的方程(a﹣3)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足()A.a≥﹣1且a≠3B.a≠3C.a>﹣1且a≠3D.a≥﹣1【分析】根据根的判别式即可求出答案.【解答】解:当a﹣3=0时,∴﹣4x﹣1=0,∴x=﹣当a﹣3≠0时,∴△=16+4(a﹣3)≥0,∴a≥﹣1,综上所述,a≥﹣1故选:D.5.若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是()A.B.C.D.【分析】根据ab<0及正比例函数与反比例函数图象的特点,可以从a>0,b<0和a<0,b>0两方面分类讨论得出答案.【解答】解:∵ab<0,∴分两种情况:(1)当a>0,b<0时,正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象限,无此选项;(2)当a<0,b>0时,正比例函数的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限,选项B符合.故选:B.6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0(2)9a>3bc;(3)9a+b+c=0:(4)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣2的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<1<5<x2,其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据对称轴可判断(1),根据抛物线开口方向,对称轴的位置以及与y轴的交点位置可判断(2),根据对称轴和图象经过(﹣1,0)可得a﹣b+c=0①,8a+2b=0②,可判断(3),利用二次函数与二次方程关系可判断(4).【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,∴b=﹣4a>0,即4a+b=0,所以(1)正确;由图象可知,抛物线开口向下,则a<0,抛物线交y轴的正半轴,则c>0,∵对称轴在y轴的右侧,则对称轴为直线x=﹣>0,∴b>0,∴9a<0,3bc>0,∴9a<3bc,所以(2)错误;∵x=﹣1时,y=0,∴a﹣b+c=0①,∵4a+b=0,∴8a+2b=0②,①+②得,9a+b+c=0,所以(3)正确;∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,图象与x轴交于(﹣1,0),∴抛物线x轴的另一个交点是(5,0),则抛物线y=ax2+bx+c=a(x+1)(x﹣5),方程a(x+1)(x﹣5)=﹣2的两根可看做抛物线y=a(x+1)(x﹣5)与直线y=﹣2交点的横坐标,∴x1<﹣1<5<x2,所以(4)正确;故选:C.二.填空题(共6小题)7.⊙O的直径为8,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系是相切.【分析】根据题意可得半径r=4,根据d=r,可判断直线l与⊙O的位置关系.【解答】解:∵⊙O的直径为8,∴半径=4,∵圆心O到直线l的距离为4,∴圆心O到直线l的距离=半径∴直线l与⊙O相切.故答案为:相切.8.关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0的一个根是1,则另一根为﹣3.【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣=﹣m,x1x2==﹣3,把x1=1代入,可求x2,进而可求m.【解答】解:根据题意可得x1+x2=﹣=﹣m,x1x2==﹣3,∵x1=1,∴1+x2=﹣m,x2=﹣3,∴m=2.故答案为:﹣39.抛物线y=x2﹣4x+5向左平移一个单位长度后的对称轴是直线x=﹣2.【分析】先将抛物线y=x2﹣4x+5化为顶点坐标式,再按照“左加右减,上加下减”的规律平移则可.【解答】解:∵y=x2﹣4x+4﹣4+5=(x﹣2)2+1,∴平移后的函数解析式是y=(x+2)2+1.∴对称轴是直线x=﹣2,故答案为x=﹣2.10.如图,C(3,0),B(2,2),以OC,BC为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比例函数的解析式为y=﹣.【分析】设经过C点的反比例函数的解析式是y=(k≠0),设A(x,y).根据平行四边形的性质求出点A的坐标(﹣1,2).然后利用待定系数法求反比例函数的解析式.【解答】解:设经过A点的反比例函数的解析式是y=(k≠0),设A(x,y).∵四边形OABC是平行四边形,∴BC∥OA,BC=OA;∵C(3,0),B(2,2),∴点A的纵坐标是y=2,|2﹣x|=3(x<0),∴x=﹣1,∴A(﹣1,2).∵点A在反比例函数y=(k≠0)的图象上,∴2=,解得,k=﹣2,∴经过C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