具体数学-第5章-二项式系数(5.1-5.3节)

第5章二项式系数（BinomialCoefficients）鞠成东E-mail：[e-mail].P.：15204679336本章教学内容●5.1基本恒等式（BasicIdentities）●5.2基本练习（BasicPractice）●5.3处理的技巧（TricksoftheTrade）85.1基本恒等式符号𝒏𝒌就是二项式系数，读作“n选取k”。示例：从集合{1,2,3,4}中选取两个元素，共有6种方法：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}记：𝟒𝟐=𝟔.组合解释：从n个不同元素的集合中选取k个元素作为子集（元素无序）的方法数。9但𝒏𝒌=?𝒏𝒌=𝒏(𝒏−𝟏)⋯(𝒏−𝒌+𝟏)𝒌(𝒌−𝟏)⋯(𝟏)=𝒏𝒌𝒌!小知识（请参见教材2.6节）：●下降阶乘幂𝒙𝒎=𝒙𝒙−𝟏⋯𝒙−𝒎+𝟏,整数𝒎≥𝟎，x直降m次。●上升阶乘幂𝒙𝒎=𝒙𝒙+𝟏⋯𝒙+𝒎−𝟏,整数𝒎≥𝟎，x直升m次。●当m=0时，𝒙𝟎=𝒙𝟎=𝟏.●𝒏!=𝒏𝒏=𝟏𝒏.10示例：𝟒𝟐=𝟒×𝟑𝟐×𝟏=𝟔.𝒏𝒌中的n称为上指标，k称为下指标。根据之前的组合解释，指标仅限于非负整数。但可打破该限制：允许上指标取任意实数（甚至复数），下指标取任意整数。11对𝒏𝒌的正式定义：𝒓𝒌=𝒓(𝒓−𝟏)⋯(𝒓−𝒌+𝟏)𝒌(𝒌−𝟏)⋯(𝟏)=𝒓𝒌𝒌!,整数𝒌≥𝟎;𝟎,整数𝒌𝟎.●上指标r特指此处可为任意实数。如：−𝟏𝟑=(−𝟏)(−𝟐)(−𝟑)𝟑×𝟐×𝟏=−𝟏.虽不存在组合解释，但对r=-1，甚至r=-1/2等情形，都是有用的。12对𝒏𝒌的正式定义：𝒓𝒌=𝒓(𝒓−𝟏)⋯(𝒓−𝒌+𝟏)𝒌(𝒌−𝟏)⋯(𝟏)=𝒓𝒌𝒌!,整数𝒌≥𝟎;𝟎,整数𝒌𝟎.●可将𝒓𝒌看成关于r的一个k次多项式。●此处虽然没有对非整数的下指标定义二项式系数，但实际上也可以给出合理定义。13注意：𝒏𝒏=𝟏的条件是𝒏≥𝟎，而当𝒏𝟎时，𝒏𝒏=𝟎。在处理二项式系数时，暂时忽略难以记住的限制条件，再来检查违反了什么没有，这样做会更容易一些。但核查时必不可少的。14帕斯卡三角形n𝒏𝟎𝒏𝟏𝒏𝟐𝒏𝟑𝒏𝟒𝒏𝟓𝒏𝟔𝒏𝟕𝒏𝟖𝒏𝟗𝒏𝟏𝟎01111212131331414641515101051616152015617172135352171818285670562881919368412612684369110110451202102522101204510115●空白处为0，如：𝟏𝟐=𝟏×𝟎𝟐×𝟏=𝟎.●𝒓𝟎=𝟏,𝒓𝟏=𝒓,𝒓𝟐=𝒓(𝒓−𝟏)𝟐.●六边形性质：𝒓𝒌𝒓+𝟏𝒌+𝟐𝒓+𝟐𝒌+𝟏=𝒓𝒌+𝟏𝒓+𝟏𝒌𝒓+𝟐𝒌+𝟐.如：𝟓𝟔×𝟑𝟔×𝟐𝟏𝟎=𝟐𝟖×𝟏𝟐𝟎×𝟏𝟐𝟔=𝟒𝟐𝟑𝟑𝟔𝟎.即：𝟖𝟓𝟗𝟕𝟏𝟎𝟔=𝟖𝟔𝟗𝟓𝟏𝟎𝟕.16可以利用阶乘改写二项式系数的定义：𝒏𝒌=𝒏!𝒌!𝒏−𝒌!,整数𝒏≥𝒌≥𝟎.阶乘表达式的定义形式也暗示了在帕斯卡三角形中包含有对称性：每一行从左向右读和从右向左读都是相同的。17（1）对称（symmetry）恒等式𝒏𝒌=𝒏𝒏−𝒌,整数𝒏≥𝟎,𝒌是整数.n不能为负数。反例：假设n=-1，则等式−𝟏𝒌=−𝟏−𝟏−𝒌永远不成立。●k=0时，左边=1，右边=0；●k≥0时，左边=−𝟏𝒌=(−𝟏)(−𝟐)⋯(−𝒌)𝒌!=(−𝟏)𝒌，右边=0；●k0时，左边=0，右边=−𝟏−𝟏−𝒌=(−𝟏)−𝟏−𝒌。18（2）吸收（absorption）恒等式𝒓𝒌=𝒓𝒌𝒓−𝟏𝒌−𝟏,整数𝒌≠𝟎.而下式则允许k=0：𝒌𝒓𝒌=𝒓𝒓−𝟏𝒌−𝟏,𝒌是整数.也有一个下指标保持不变的相伴恒等式：(𝒓−𝒌)𝒓𝒌=𝒓𝒓−𝟏𝒌,𝒌是整数.19证明：(𝒓−𝒌)𝒓𝒌=𝒓𝒓−𝟏𝒌,𝒌是整数。证：𝒓−𝒌𝒓𝒌=𝐫−𝐤𝒓𝒓−𝒌(依据对称性)=𝒓𝒓−𝟏𝒓−𝒌−𝟏(依据吸收性)=𝒓𝒓−𝟏𝒌(依据对称性).注：这一推导仅对正整数r成立，但可以断定，该恒等式对所有实的r也成立。多项式推理法（polynomialargument）。20（3）加法公式（additionformula）𝒓𝒌=𝒓−𝟏𝒌+𝒓−𝟏𝒌−𝟏,𝒌是整数.请观察：该公式在帕斯卡三角形中的表现。证明：●利用组合解释方法证明（给出组合意义）；●利用吸收恒等式证明；●利用定义证明。21证明：𝒓𝒌=𝒓−𝟏𝒌+𝒓−𝟏𝒌−𝟏,𝒌是整数。证：利用吸收恒等式。将吸收恒等式“𝒌𝒓𝒌=𝒓𝒓−𝟏𝒌−𝟏,𝒌是整数.”和“(𝒓−𝒌)𝒓𝒌=𝒓𝒓−𝟏𝒌,𝒌是整数”相加，可得：𝒓−𝒌𝒓𝒌+𝒌𝒓𝒌=𝒓𝒓−𝟏𝒌+𝒓𝒓−𝟏𝒌−𝟏.即：𝐫𝒓𝒌=𝒓𝒓−𝟏𝒌+𝒓𝒓−𝟏𝒌−𝟏.22证明：𝒓𝒌=𝒓−𝟏𝒌+𝒓−𝟏𝒌−𝟏,𝒌是整数。证：利用定义直接证明。若𝒌𝟎，则有：𝒓−𝟏𝒌+𝒓−𝟏𝒌−𝟏=(𝒓−𝟏)𝒌𝒌!+(𝒓−𝟏)𝒌−𝟏𝒌−𝟏!=(𝒓−𝟏)𝒌−𝟏(𝒓−𝒌)𝒌!+(𝒓−𝟏)𝒌−𝟏𝒌𝒌!=(𝒓−𝟏)𝒌−𝟏𝒓𝒌!=𝒓𝒌𝒌!=𝒓𝒌.若𝒌≤𝟎，也容易处理。23。加法公式的三种截然不同的证明，恰恰说明二项式系数有许多有用的性质，其中有一些必定会用来导出某个恒等式的证明。这是我们需要掌握的工具，或用于证明，或用于化简，或用于求解复杂的二项式系数的和式。加法公式本质上是关于帕斯卡三角形中的数的递归式，它对使用归纳法证明其他恒等式也很有用。24继续研究加法公式。。。●反复利用加法公式，展开具有最小下指标的二项式系数，看看会发生什么。𝟓𝟑=𝟒𝟑+𝟒𝟐=𝟒𝟑+𝟑𝟐+𝟑𝟏=𝟒𝟑+𝟑𝟐+??+??=𝟒𝟑+𝟑𝟐+𝟐𝟏+??+??.25继续研究加法公式。。。●反复利用加法公式，展开具有最小下指标的二项式系数，看看会发生什么。𝟓𝟑=𝟒𝟑+𝟒𝟐=𝟒𝟑+𝟑𝟐+𝟑𝟏=𝟒𝟑+𝟑𝟐+𝟐𝟏+𝟐𝟎=𝟒𝟑+𝟑𝟐+𝟐𝟏+𝟏𝟎+𝟏−𝟏.26一般的公式（平行求合法）：𝒓+𝒌𝒌𝒌≤𝒏=𝒓𝟎+𝒓+𝟏𝟏+⋯+𝒓+𝒏𝒏=𝒓+𝒏+𝟏𝒏,𝒏是整数.注意：在求和指标中不需要下限𝒌≥𝟎，因为𝒌𝟎的项都是0。27●反复利用加法公式，展开具有最大下指标的二项式系数，看看会发生什么。𝟓𝟑=𝟒𝟑+𝟒𝟐=𝟑𝟑+𝟑𝟐+𝟒𝟐=𝟐𝟑+𝟐𝟐+𝟑𝟐+𝟒𝟐=𝟏𝟑+𝟏𝟐+𝟐𝟐+𝟑𝟐+𝟒𝟐=𝟎𝟑+𝟎𝟐+𝟏𝟐+𝟐𝟐+𝟑𝟐+𝟒𝟐.28一般的公式（上指标求和法）：𝒌𝒎𝟎≤𝒌≤𝒏=𝟎𝒎+𝟏𝒎+⋯+𝒏𝒎=𝒏+𝟏𝒎+𝟏,整数𝒎,𝒏≥𝟎.该恒等式称为“关于上指标求和”，它将一个二项式系数表示成为下指标是常数的二项式系数之和。组合解释：若想要从一个有n+1张票（编号从0到n）中选取m+1张，当选取的最大号码是数k时，就有𝒌𝒎种取法。29对于上述这两个一般的公式，可以利用加法公式，并通过归纳法进行证明。也可由它们相互给出证明。证明：用公式(5.10)：𝒌𝒎𝟎≤𝒌≤𝒏=𝟎𝒎+𝟏𝒎+⋯+𝒏𝒎=𝒏+𝟏𝒎+𝟏,整数𝒎,𝒏≥𝟎，来证明公式(5.9)：𝒓+𝒌𝒌𝒌≤𝒏=𝒓𝟎+𝒓+𝟏𝟏+⋯+𝒓+𝒏𝒏=𝒓+𝒏+𝟏𝒏,𝒏是整数。证：此方法也描述了某些二项式系数的共同处理方法。总的计划：处理(5.9)的左边𝒓+𝒌𝒌，使其看起来像(5.10)的左边𝒌𝒎；然后使用这个恒等式，用一个单独的二项式系数代替这个和式；最后将那个系数变换成(5.9)的右边。30二项式系数因二项式定理而得名。(𝒙+𝒚)𝟎=𝟏𝒙𝟎𝒚𝟎(𝒙+𝒚)𝟏=𝟏𝒙𝟏𝒚𝟎+𝟏𝒙𝟎𝒚𝟏(𝒙+𝒚)𝟐=𝟏𝒙𝟐𝒚𝟎+𝟐𝒙𝟏𝒚𝟏+𝟏𝒙𝟎𝒚𝟐(𝒙+𝒚)𝟑=𝟏𝒙𝟑𝒚𝟎+𝟑𝒙𝟐𝒚𝟏+𝟑𝒙𝟏𝒚𝟐+𝟏𝒙𝟎𝒚𝟑(𝒙+𝒚)𝒏=(𝒙+𝒚)(𝒙+𝒚)⋯(𝒙+𝒚)(𝒙+𝒚)𝒓=𝒓𝒌𝒙𝒌𝒚𝒓−𝒌𝒌,整数𝒓≥𝟎或者𝒙𝒚𝟏.31(𝒙+𝒚)𝒓=𝒓𝒌𝒙𝒌𝒚𝒓−𝒌𝒌,整数𝒓≥𝟎或者𝒙𝒚𝟏.●𝟐𝒏=𝒏𝟎+𝒏𝟏+⋯+𝒏𝒏,整数𝒏≥𝟎.●𝟎𝒏=𝒏𝟎−𝒏𝟏+⋯+(−𝟏)𝒏𝒏𝒏,整数𝒏≥𝟎.●当r不是非负整数时，常在y=1时使用二项式定理：(𝟏+𝒛)𝒓=𝒓𝒌𝒛𝒌𝒌,𝒛𝟏.●当r为任意数值时，可利用泰勒级数以及复变量的理论。32当n为负整数时，我们将得到向上扩展的帕斯卡三角形。反转上指标公式：𝒓𝒌=(−𝟏)𝒌𝒌−𝒓−𝟏𝒌,𝒌是整数.除k为整数外，无其它任何限制条件。该公式特别有用，比如：可以用上指标反转在上下指标位置之间移动量。(−𝟏)𝒎−𝒏−𝟏𝒎=(−𝟏)𝒏−𝒎−𝟏𝒏=𝒎+𝒏𝒏;𝒓𝒌(−𝟏)𝒌𝒌≤𝒎=𝒓𝟎−𝒓𝟏+⋯+−𝟏𝒎𝒓𝒎=−𝟏𝒎𝒓−𝟏𝒎,𝒎是整数.33证明：𝒓𝒌(−𝟏)𝒌𝒌≤𝒎=𝒓𝟎−𝒓𝟏+⋯+−𝟏𝒎𝒓𝒎=−𝟏𝒎𝒓−𝟏𝒎,𝒎是整数。证明：对上指标反转；用平行求和法；再反转。𝒓𝒌(−𝟏)𝒌𝒌≤𝒎=𝒌−𝒓−𝟏𝒌𝒌≤𝒎=−𝒓+𝒎𝒎=(−𝟏)𝒎𝒓−𝟏𝒎.该公式给出了帕斯卡三角形中第r行的部分和（元素符号正负交错）。若𝒎≥𝒓，则该式给出整个一行的交错和，且当r是正整数时，和式为0。34若能够对一行计算有交错符号的和式，是否也能计算下列看似更简单的和式？𝒏𝒌𝒌≤𝒎=𝒏𝟎+𝒏𝟏+⋯+𝒏𝒎答案：帕斯卡三角形中一行的部分和不存在封闭形式。但可以对列操作，这就是上指标求和法：𝒌𝒎𝟎≤𝒌≤𝒏=𝟎𝒎+𝟏𝒎+⋯+𝒏𝒎=𝒏+𝟏𝒎+𝟏,整数𝒎,𝒏≥𝟎.35有趣的是：如果一行的元素都乘以它们离开中心的距离，那就能对一行求部分和的封闭形式。𝒓𝒌𝒓𝟐−𝒌𝒌≤𝒎=𝒎+𝟏𝟐𝒓𝒎+𝟏对上式应用归纳法，容易验证。包含或不包含因子𝒓𝟐−𝒌的这些部分和式之间的关系类似于下列积分之间的关系：𝒙𝒆−𝒙𝟐𝒅𝒙=−𝟏𝟐𝜶−∞𝒆−𝜶𝟐和𝒆−𝒙𝟐𝒅𝒙𝜶−∞左边似乎复杂，但有封闭形式解；而右边没有。36二项级数的部分和引出另一个有趣的关系式：𝒎+𝒓𝒌𝒙𝒌𝒚𝒎−𝒌𝒌≤𝒎=−𝒓𝒌𝒌≤𝒎(−𝒙)𝒌(𝒙+𝒚)𝒎−𝒌,𝒎是整数.证明：当𝒎𝟎时，两边都是0；当𝒎=𝟎时，两边都是1；当𝒎𝟎时，令：𝑺𝒎=𝒎+𝒓𝒌𝒙𝒌𝒚𝒎−𝒌𝒌≤𝒎.37𝑺𝒎=𝒎+𝒓𝒌𝒙𝒌𝒚𝒎−𝒌𝒌≤𝒎=𝒎−𝟏+𝒓𝒌𝒙𝒌𝒚𝒎−𝒌𝒌≤𝒎+𝒎−𝟏+𝒓𝒌−𝟏𝒙𝒌𝒚𝒎−𝒌𝒌≤𝒎右侧No.1式=𝒚𝑺𝒎−𝟏+𝒎−𝟏+𝒓𝒎𝒙𝒎，右侧No.2式=