第四章、Z变换和离散时间系统的Z域分析

1第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析本章要点•Z变换的基本概念和基本性质•利用Z变换解差分方程•离散系统的系统函数•离散系统的频率响应•数字滤波器2§8.1Z变换的定义—由拉氏变换引出Z变换•有抽样信号•单边拉氏变换0)()()(nsnTtnTxtxsnTnstnstnsenTxdtenTtnTxdtenTtnTxsX00000)()()()()()(3•令,其中z为一个复变量•则•广义上讲T=1sTez0)()(nnznTxzX0)()(nnznxzX单边Z变换4§8.2Z变换的收敛域20)2()1()0()()(zxzxxznxzXnn收敛域：当为有界时，令上述级数收敛的的所有可取的值的集合称为收敛域1）比值判别法2)根值判别法)(nxznnnaa1lim111nnnalim5例：)()(nuanxn010)()(nnnnnazzazX11limazaannnzazaza11limazaznnn6几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列2121)()(nnnznxzXnnnn收敛域为除了0和的整个平面z]Re[z]Im[zj)(nx7（1）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列1nn)(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx收敛半径圆外为收敛域1xR]Re[z]Im[zj8（1）左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列2nn)(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(lim1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点02n2xR]Im[zj]Re[z9（1）双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圆内收敛圆外收敛12xxRR12xxRR有环状收敛域没有收敛域12xxRR]Im[zj]Re[z10例：)(31)()1(nunxn右边序列31311131)(101zzzzzXnn311xR31z311xR31]Im[zj]Re[z11例：)1(31)()2(nunxn左边序列313111)3(13131)(101111zzzzzzzXmmmmnmnn001311)3(lim22znRzzxnnn收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点02n2xR31]Im[zj]Re[z12例：)]8()([31)()3(nununxn有限长序列)()(11)(31)(31783181318131801zzzzzzzXnn收敛域为除了0和的整个平面z]Re[z]Im[zj3131283180)(82zzezezKjkj8个零点7阶极点一阶极点13例：nnx31)()4(双边序列))(3(31133131)(3138101zzzzzzzzzXnnnnn]Im[zj331z]Re[z14§8.3典型序列的Z变换•单位样值序列•单位阶跃序列•斜变序列•指数序列•正弦余弦序列15)0(1)()]([)1(0zznnZTnn)0,0(),00()()()]([)2()(0zmzmzzrzmnmnZTmmrmrnn)0(0)1()1()]1([)3(101zzzznznnZTnnnn16)1(111)()]([10zzzzznunuZTnn2021)1()1(1)()]([zzzznnunnuZTnn)(11)]([10azazzazzanuaZTnnnn)1(z171cos2)cos(2/)(]2/)[(][cos][][020000000000zzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj余弦序列的Z变换:18正弦序列的Z变换:1cos2sin2/)(]2/)[(][sin][][020000000000zzzlezzezzjeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj19)(cos2)cos(2/)(]2/)([]cos[][][2020000000000zzzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjnnjnjnjnjn例20§8.4Z变换的逆变换（1）留数法（2）幂级数展开法（略）（3）部分分式法21（1）留数法•假设有一固定的围线C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以，然后沿着围线积分，得到：0)()(nnznxzXCCnnCmnnmmdzznxdzznxzdzzXz00111)()()()(zX1mz22•由复变函数中的柯西定理•只有右边的即一项，•于是•逆变换00021kkjdzzCk11mnmnCnCndzzzXjnxnjxdzzzX11)(21)()(2)(23nzznCnmzzXsdzzzXjnx])([Re)(21)(11用留数求围线积分mmzznmzznzzXzzzzXs])()[(])([Re11一阶极点：S阶极点：mzzsmnsszzzzXdzds])()([)!1(111124例?)()1()5.0)(1(12)(23nxzzzZzzzX)(1nxz解必然是因果序列，右边序列mmzznnzznzzzzzzszzXsnx1231)5.0)(1(12Re])([Re)(0,5.0,1,10,5.0,1,05.0,1,23214,32121zzznzzznzzn25nznznzzzzzzzznxn)5.0(1381125.012)(2)1(5.0232123211386)5.0(138)5.0)(1(12)(0)2(00223zzzzzznxn5.3)5.0(1382)5.0(138)5.0)(1(12)(1)3(1023zzzzzznxn26（2）部分分式法kkkkrrrrzazazaazbzbzbbzX11101110)(000abArkkmmmpzzAAzX10)(00ArkkmmmzpAzX111)(kmmmpzAzzX1)(Am是在Pm处的留数zzX)(只有一阶极点27mmpzmpzmpzzzXzzXsA)()()(Re)()()(01nAnupAnxnmkmm)(Rz)(Rz)()1()(01nAnupAnxnmkmm28含有M个一阶S个高阶极点SjjjMmmmzzBpzzAAzX110)(jzsjjsjsjzzXzdzdjsB)()()!(1SjjjjjMmmmzzCpzzAAzX110)()(部分分式为另一种形式jzSjjzXzzC)(29例双边序列?)()231(235)(2nxzzzzzX231)(zzzzzX简单的可用公式或查下册第75页的表8-2，8-3，8-4：左边序列右边序列)1(2)()()(31nununxnn30§8.5Z变换的基本性质•线性和位移性•序列线性加权（Z域微分）•序列指数加权（Z域尺度变换）•初值定理和终值定理•时域卷积和Z域卷积定理•帕斯瓦尔定理31Z变换的基本性质和定理如果则有：yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ,)()]([,)()]([*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性),min(),max(),()()]()([yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ32[例]已知,求其z变换。)()cos()(0nunnx1],1111[21)]()[cos(1,11)]([1,11)]([,11)]([)(][21)()cos(11011100000000000zzezenunZezzenueZezzenueZazaznuaZnueenunjjjjnjjjnjnnjnj因此，解：332.序列的移位xxmRzRzXzmnxZ;)()]([如果则有：xxRzRzXnxZ,)()]([[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。1,111)]([1,11)]3([1,1)]([22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ343.Z域尺度变换(乘以指数序列)xxnRazRaazXnxaZ;)()]([xxRzRzXnxZ,)()]([如果，则证明：xxxxnnnnnnRazRaRazRazXaznxznxanxaZ即;;)())(()()]([354.序列的线性加权(Z域求导数)如果xxRzRzXnxZ,)()]([，则xxRzRzXdzdznnxZ,)()]([证明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()]([)()()()(])([)(,)()(11即，对其两端求导得365.共轭序列的共轭序列。为其中，，)()(;)()]([****nxnxRzRzXnxZxx如果xxRzRzXnxZ,)()]([，则证明：;)(]))(([]))(([)()]([********xxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，376.翻褶序列xxRzRzXnxZ11;)1()]([如果xxRzRzXnxZ,)()]([，则证明：xxxxnnnnnnRzRRzRzXznxznxznxnxZ11)1())(()()()]([11即，，38。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7.初值定理证明：)0()(lim,)2()1()0()()()()(210xzXzxzxxznxznunxzXznnnn显然