高等电磁场作业

高等电磁场作业一周竞科1－1、证明：令MA，NB。所以BABMBMBMMBAB)()(，ABANANANNABA)()(，又因为BA)(＝AB)(所以原式＝dsABBAdsABBAdsANBMdvANBMSSsv)]()([][][][证毕1－2、证明：)()()()(zzyyxxzzyyxxzzyyxxgfgfgfzdzgfgfgfydygfgfgfxdxgfzzdfgzdfgzdfgyydfgydfgydfgxxdfgxdfgxdfggggzdfzdfzdfydfydfydfxdfxdfxdfzyxgggzyxzyxzdfzdfzdfydfydfydfxdfxdfxdfzyxgfzzyyxxzzyyxxzzyyxxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx)()()(同理可得zydgfydgfydgfyydgfydgfydgfxxdgfxdgfxdgffgzzyyxxzzyyxxzzyyxx)()()(由dxdfgdxdgfdxgfdxxxxxx)(并依次类推相加可得)(gf＝gf＋fg证毕2.1讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。Maxwell边界方程中,前两个方程0)(,)(2121EEnJHHnS是独立的，可以推导高等电磁场作业一周竞科出其余两个方程，过程如下0n0)()()()()()(2121212121BBnttBtBnnEEEEnEEn所以有constBBn)(21，由于在静态场中0)(21BBn，所以对时变场也有)(21BBn＝0。当SJHHn)(21时，)()()()()()()(21212211212121tDtDnJJntDJtDJnnHHHHnHHnJS由电流连续性方程tJJJnSSs)(21，SSSSlSSSsJSdsJSdlnJJ0'0limlim所以)()()(212121DDnttDtDnttDtDntJJSSSS得constDDnS)(21，由于在静态场中此const＝0，所以对时变场也有SDDn)(21所以得证。2.2验证}exp{ˆ0jkzEzE是否为可能存在的电磁场。解：0}exp{000jkzEzyxzyxtBE所以tB＝0，即B不随时间而变换。当在无源区域时，B恒定即没有电场产生，所以不存在电磁场。在有源区域时，电场可以由电源产生，因此有可能存在电磁场。2.3证明边界条件：0ˆ21EEn和sDDn21ˆ。高等电磁场作业一周竞科证明：沿用本讲证明一中的假设条件有ShtBhMSEnEn)(21M表示En关于小盒侧面的线积分当h趋于0时，有)(21EEn＝0同理，有ShhNSDnDn)(21N表示Dn关于小盒侧面的线积分当h趋于0时,Sh为面密度，有sDDn)(213.1对于良导体，无源区域的Maxwell方程为00EHHjEEH试导出波动方程，并给出波传播的速度v和波阻抗的表达式。解：tHHjwEHtEEjwHjwEtHtHHHH0)(2tEtEHEE0)(2在以上波动方程中可以得到jk2)2222(jjk所以22rk222rkv，)1(2jk高等电磁场作业一周竞科4-1试推导频域Poynting定理。)4141(221)(21)(21)(21)(21)21(*********DEBHwjJEDjwJEBjwHHEEHHE4-2相同频率的两个电源，置于相同的各向同性的线性媒质中，电源1在空间产生的电磁场为11,HE；而电源2产生的22,HE，试证明01221HEHE21211222112211221)()()()(EEjwEEHHjwDjwJEBjwHHEEHHE同理21211212)(EEjwEEHHjwHE所以01221HEHE4-3无限均匀导电媒质中放一电量为Q的点电荷，试求这电荷随时间的变化规律，并写出空间中任一点的磁场强度和能密度。因为媒质中无外电场作用，因此EJ.QdvEQdvEDdvdvvvvvtQEdvEdvtQdvtdvJvvvv1由上两式可得tQ1＝Q)exp(0tQQQtQ因为源Q为点电荷，因此其所产生的电场E为散度场，所以E=0（亦可由0)(444303020RReQERReQRRReQE）0EtB,即B不随时间而变化。所以00tBB(电荷刚放入媒质时没有电荷变化，因此此时B＝0)根据时域Poynting定理，EE)(高等电磁场作业一周竞科因为0BEHES，且0mPww，所以S＝022022002200220020028)2exp(8)2exp(284)2exp(RQtRQdRQdRQdEwwdwEwtttteettee错！前提为连续分布的电荷系统！而22008RQwe，能量密度即为)2exp(8220tRQwet5-1证明:在自由空间),(00的电磁场中，垂直于任意表面的电磁场力密度（单位面积上电磁场力的法向分量）为])ˆ()ˆ()ˆ()ˆ([2120202020nHnEnHnEFn假设单位面积的法向分量为n，因此在垂直表面的E中，可以分解成平行n的1E，其大小为nE；垂直n的2E，其大小为nE.因为1E与n平行，根据式（5—19）可得201)(21nEFe。而2E与n垂直，亦可得202)(21nEFe，E与H相互垂直，因此1H将与n垂直，其大小为nH;2H与n平行，其大小为nH。同理201)(21nHFh，202)(21nHFh.整个表面所受的电磁场力密度将为这四个力密度之和，所以])ˆ()ˆ()ˆ()ˆ([2120202020nHnEnHnEFn5-2试导出频域情况下电磁场动量守恒定理。高等电磁场作业一周竞科6-1试证明在Coulomb规范下tJAt)(222－式中，JJrtrrdvtv(,)4证：Coulomb规范下A0，波动方程变为2222)(tJAt2满足泊松方程，容易证明(,)(,)rtrtrrdvv4因为214rrrr()以及函数的选择性，任意矢量frt(,)可表示为vdrrtrfvdrrtrfvdrrtrftrfvvv4),(14),()(),(),(22再利用AAA（)2，得frtfrtRdvfrtRdvvv(,)(,)(,)44即任意矢量f可分解为无旋部分和无散部分之和设电流源tlJJJ，其中lJ,Jt分别表示J的无旋部分和无散部分，即JJrtrrdvlv(,)4JJrtrrdvtv(,4),(11),(),(trJrrrrtrJrrtrJ高等电磁场作业一周竞科因为Jrt(,)0，以及),(1),(1),(1),(trJrrrrtrJrrtrJrrtrJ所以，由svvvlvdrrtrtdsrrntrJvdrrtrJvdrrtrJJ4),(4ˆ),(4),(]4),([由电流连续性方程可知，因为场源J和分布在有限空间内，而体积v为均匀无界空间，所以上式右边第一项面积为零。再将Coulomb规范下标位的表达式(,)(,)rtrtrrdvv4代入上式右边第二项，便得到tJl将tlJJJ和(6-22)代入(6-17)的第一式，得到tJAt)(222即在Coulomb规范下，矢位A只由电流源的无散部分决定。6－2试导出导电率为的媒质中矢位A和标为的波动方程。解：在导电率为的媒质中EtDJHEBt知BA，tAE＝将其代入EtDJH和D两式可得到)()()(22tAtAtAtJA＋＝高等电磁场作业一周竞科应用AAA()2，上式整理后得AttAJAtt2222)()(在第二个式子左右两边各加tt22，可以整理得到)()()()(222222tAttttAJAtt此时便得到格式较为规范的矢位A和标为的波动方程。7-1试证明：在Coulomb规范下