量子力学期末考试助教总结

:*()/()EhPh第一章：普朗克对黑体辐射解释的基本假设能量以量子化的形式，在电磁振动和原子等物质中发生转化（但是量子力学中物理量的取值可以不是分立的，比如连续谱）解释光电效应频率波长经典力学对物理状态的描述用粒子的位置和动量来描述。量子力学用波函数来描述经典力学用标量，矢量或张量来描述物理量量子力学用厄米算符来描述物理量()/22222()/()/(,)(,)2()2iEtEhhPeVtiΨ(,t)(,t)Vt(,t)tmVΨEΨmcprrrrrrrrr第二章：说明什么是波粒二象性，德布罗意关系：频率波长平面波函数的形式：粒子在势场中运动的含时薛定谔方程定态薛定谔方程：波函数的统计诠释，是几率振幅，几率波，是复函数。例如和描述同一个态。是几率密度给定一个波函数的坐标空间的表达式，会计算在空间某点的或区间内的几率振幅或几率密度。会做归一化*已知粒子在[-L/2,L/2]中的归一化波函数为,，那么粒子在此区间中的几率密度为1/2L21()2ixLxeL(,,)xyz*设三维空间中粒子的波函数为，在范围内找到粒子的几率为~+yydy2(,,)xyzdxdzdy 掌握解一维简单薛定谔方程的基本步骤和方法例如当势函数具有反射对称性时，可以研究具有确定宇称的解，这样带来简化束缚态：在无限远处为零的波函数所描写的状态，称之为束缚态散射势，波函数导数的跃变，注意在解散射问题时，波函数的分区描述。1(),2En一维谐振子的推导做一般了解。基态能量不为零4222-,2nmeEn氢原子能级和n成反比解定态薛定谔方程的基本步骤(当V(x)是分段常数时)：1.列出定态薛定谔方程2.写出薛定谔方程在不同区域的通解3.写出边界条件不管ψ’(x)是否连续，ψ(x)总是连续的lim()0xx2).如求解束缚态，无穷远处的边界条件：1212)()''iiVxaaaaxa如果连续在一个点为无穷大,如函数，则，而和在处满足一定的跃变条件',''''ln'=ln'1212121212Vxxxxaaaaaaaaaaa1).相邻区域的连续条件：a).连接处附近有限时，要求和其导函数在连接处连续：有时写成如下形式或a0∞)()VxxxaVxb).连接处无限时，要求在连接处(连续，但是其导函数情形视的情形而不同。12)()0iVxaa如果连续在一个区域为无穷大，则4.由以上边界条件得出能量量子化5.如可能的话，由以上边界条件和波函数归一化条件定出波函数系数c1,c2,c3和c4要求给定已知波函数，可以给出归一化系数一维无限深势阱0)(xV/2/2/2,/2axaxaxa2222222222(),0,22:0sin()AddmVxΨxEΨxΨxEVΨxmdxdxmEdkΨxkΨxdxΨxAkx定义，和是常数1/,./20,/200,0/2sin(/2)00,sin(/2)0/2sin(/2)0,0,sin(/2)0/2ΨaΨaΨxAΨaAakAakΨaAkaAakaknxa2Vx因为势阱无限高，当时波函数在这些区域内为零。边界条件：21212212111221()2(/2()/2()()()()sin()sin()22cos,sin),aknnaknnnnnnnnnΨxAxAxaanAxanAxnann当n为奇数当n为偶数2cos,2sin,nxaanxaa归一化当n为奇数当n为偶数222222,22knEnmma能量为整数中运动，求该体系的能量本征值及波函数。***ˆAˆ=nnnnnnxcxaAAA第三章动量算符和角动量算符在坐标空间表象中的形式力学量算符的厄米性，..给出一个算符的矩阵表示，要能判断它是否是厄米的。厄米厄米算子的本征值是实的，平均值是实的。它的本征函数构成完备基，属于非简并本征函数正交,简并态矩阵和它的转置共轭矩阵相等：厄米算符（矩阵）的乘积不一定是可以正交化厄米算符*ˆˆ*,ˆˆˆˆˆ,,TAAAAAAA力学量算符必须满足其中，和分别表示算符的转置复共轭，复共轭，逆和转置算符ˆˆˆˆˆˆ*ABABAB两个算符、相等的定义是，和作用在任意波函数时有：*****,,,,,,,(),,jjjjiiiiiiiiiiijjjjjjjddaadaaaad*全全全全.两个波函数的标积的定义1211*122111221122*,.0..BCcccc为波函数的标积特征：A'(')*具有连续谱的力学量算符的本征函数的归一化条件表示为*波函数可以用狄拉克符号来表示，其意义是未涉及具体表象的抽象态矢n*具有分立谱的力学量算符的本征函数的归一化条件表示为mnmn02212ˆ().2tiΨ(,t)HΨ(,t)VΨ(,t)tmrrrr3.4.基本假设：对状态的描述在给定时刻，系统的物理状态由在状态空间中指定一个来定义：系统随时间的演化波函数随时间的演化由薛定谔方程决定对物理量的描述每一个可测量的物理量由一个作用于状态空间的来描述；这个算符就是可观测量(力学量波函数厄米算符)。态叠加原理1212222211ˆAA,,,,,ˆˆAA,ˆA,,nnnffnnniniiinnnaaacaacxcx5.物理量的测量对物理量的测量值只可能是它所对应的客观测量(厄米算符)的本征值假设可观测量(力学量)的谱为对应的非简并本征态为。在体系中测量物理量，测量得到的本征值的概率为简并情况，对的测量取值的几率为力学量在给定态中的平均值123222221222121223*ˆˆ.:,:,ˆof:ˆˆ,()()nnnnnninniiFFFcFccccFFxFxdcccx平均值是的本征态本征值几率6.ˆAˆ()Aaaa测量后波函数的扁缩对测量之后状态的预言如果对处在态的系统的物理量的测量结果为非简并，那么测量后的体系的状态是对应于的本征值的归一化的本征态Ckxcos,kk*体系处于状态,则体系的动量所有可能取值为*ˆ*,,...,,...().,.ˆ.,ii12313131i1nFf221d2Ff全空间假设是力学量算符的本征函数(已归一)，其对应的本征值非简并是叠加态计算标积()=请将归一化3.在态中对力学量F进行测量，请问F的可能测量值是什么，其测量的平均值是多少，4对处在态下的粒子的力学量进行测量，测量值为请问测量后体系处于什么态ˆ||||||||2221231232nn123nFF441fffccc999441FcFfff9993.由基本假设，力学量的每次测量值只可能是算符的本征值，所以每次测量可能得到的测量值为，测量得到它们的几率分别为，和。根据平均值表达式，测量的平均值为：++或或*.,13131d0全空间由基本假设，力学量算符的本征函数构成正交完备基()=*()***.C()||||()()||||||(),():,,12222123123nn2123ijijij2CCd11CdC2222dCc11221C4419C333331ij1d0i全空间未归一全空间全空间未归一未归一全空间假设乘上系数后，是归一的，即归一化后的波函数为：()=j123nnnxcxccc相当于在展式中，只有、和不为零002222200222200(2)/22/2/2kkEkkEkk算符对易，共同本征函数，海森堡不确定性原理ˆˆ*,=0,.ˆˆ,1,2,3,,1,2,3ˆˆˆˆandandandand1ˆˆˆ*,0,1nnnnnnnnnnnnnnnABAanBbnABabABabABAan它们有共同的完备本征函数集在态中测量只能分别得到两个值，取值两个值的概率为，没有其他可能性。这时没有任何不确定性。如果：12ˆ,2,3,,1,2,3ˆˆˆ1.ˆˆˆ:kkknknnnnnnnnnkkkkBbkAAAaBABCbbb；一般地，如果体系处于的本征态，则对的测量没有任何不确定性，取值的概率为考虑在态中测量。因为和是厄米的，则和二者都是完备的可以用展开根据量子力学中有关测量的假设，测量结果为222122ˆˆˆˆˆand,0x,/2nnnkCCCpEpmBABAB所以对的测量变得不确定了。不确定性源于的不对易其取值几率分别为会用海森堡不确定原理估算基态能量由估算由估性算能量最小值表象理论1112212212ˆˆˆ010ˆˆG,GˆˆˆG=00niimnmnmnnnmnnnnnmnmnnmffaGGGGGFFfffffffffffffffFfG设F是一个力学量算符，其正交归一完备的本征态集为：的向量形式为，在F表象中求力学量的矩阵形式：其中矩阵元特别地，当F时，矩阵元F()是对角矩阵即任何一个力学量在的表象中，是一个对角矩阵，对角元自身就是本征值测量值*幺正算符：如果一个算符与其自身的厄米共轭的乘积是单位算符，则称之为幺正算符SS+=I*在给定的表象中，力学量可以用矩阵表示，不同的表象之间的变换可以用幺正矩阵S来表示，幺正变换不改变力学量矩阵的迹，也不改变力学量矩阵的本征值对B也一样因为B2=1，所以其本征值为1，-1ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,0xzyxLxypxzpˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,yxzxxLxzpxxpzxpizˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,xzyyLyypyzpyzpyizˆThecommutationrelationrelatedtoLˆˆˆˆˆˆˆˆˆxzyyxzzyxLypzpLzpxpLxpyp与角动量有关的对易关系ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,xzyyLyypyzpyzpyizˆˆˆˆˆˆˆ,0,,,xxxyxyzpLpLLpipxyz1,,,,0,ˆˆˆ,xyzxpxppxi基本对易关系，对易子的定义，ˆˆˆˆˆˆ,1aaaaaa升降算符的对易关系H什么是守恒量：不显含时间，与哈密顿量对易。守恒量的含义：平均值不随时间变化，测量几率分布不随时间变化知道证明和判断守恒量，就是计算对易关系。空间旋转对称，无穷小算符，角动量空间平移对称，无穷小算符，动量空间反演对称，宇称12,12kjFkFaaLkLjLFSSI有关表象和狄拉克符号力学量的本征函数为在表象中，态矢可以按展开：，为在表象下的矩阵元变换矩阵是幺正矩阵，幺正矩阵的定义：幺正变换不改变物理：如本征值幺正矩阵的本征值的模是一，一般是复数。区别厄米矩