直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳

直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳考点一弦中点问题[典例](2018·南宁摸底联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55[解析]设直线x－y＋5＝0与椭圆x2a2＋y2b2＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝y2－y1x2－x1＝1.由x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得，x1＋x2x1－x2a2＋y1＋y2y1－y2b2＝0，所以y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2，所以b2a2＝14，于是椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2＝32，故选C.[答案]C[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．[题组训练]1．已知椭圆：x29＋y2＝1，过点P12，12的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x＋y－5＝0B．9x－y－4＝0C．x＋9y－5＝0D．x－9y＋4＝0解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x219＋y21＝1，x229＋y22＝1，两式作差得x2－x1x2＋x19＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为x2＋x1＝1，y2＋y1＝1，y2－y1x2－x1＝kAB，代入后求得kAB＝－19，所以弦所在的直线方程为y－12＝－19x－12，即x＋9y－5＝0.2．焦点为F(0,52)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________．解析：设所求的椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22，且x1＋x22＝27，y1＋y22＝－37.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得y21a2＋x21b2＝1，y22a2＋x22b2＝1.两式相减并化简，得a2b2＝－y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－2×－6747＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为y275＋x225＝1.答案：y275＋x225＝1考点二弦长问题[典例](2018·北京高考节选)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．[解](1)由题意得a2＝b2＋c2，ca＝63，2c＝22，解得a＝3，b＝1.所以椭圆M的方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝x＋m，x23＋y2＝1，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34.所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝2x2－x12＝2[x1＋x22－4x1x2]＝12－3m22.当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为6.[解题技法]弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2](k为直线斜率)．[提醒]利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[题组训练]1．已知椭圆x22＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝423，则实数m的值为()A．±1B．±12C.2D．±2解析：选A由x22＋y2＝1，y＝x＋m消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2m2－23.由题意，得|AB|＝2x1＋x22－8x1x2＝433－m2＝423，解得m＝±1.2．椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝12，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为3，求△ABF2的面积．解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝12，所以ca＝12，c＝1，所以b2＝22－1＝3，所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线AB的方程为y＝3(x＋1)，由y＝3x＋1，x24＋y23＝1，得5x2＋8x＝0，解得x1＝0，x2＝－85，所以y1＝3，y2＝－335.所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×3＋335＝835.考点三椭圆与向量的综合问题[典例](2019·长春质检)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E3，32.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1―→＝2F1B―→，求直线l的斜率k的值．[解](1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，a2＝b2＋c2，c＝1，解得a＝2，c＝1，b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立y＝kx＋1，x24＋y23＝1，整理得3k2＋4y2－6ky－9＝0，则Δ＝144k2＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝6k3＋4k2，y1y2＝－9k23＋4k2，又AF1―→＝2F1B―→，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±52，又k＞0，所以k＝52.[解题技法]解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．[题组训练]1．已知F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BF1―→·BF2―→≥14F1F2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.0，12B.0，22C.0，33D.12，1解析：选C根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为BF1―→·BF2―→≥14F1F2―→2，BF1―→＝(－c，－b)，BF2―→＝(c，－b)，|F1F2|2＝4c2，所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2≥3c2，所以0＜ca≤33.2．已知椭圆D：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆D的标准方程；(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x＝a交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，求OM―→·OP―→的值．解：(1)因为|OA|＝|OF|，所以b＝c，又△AOF的面积为1，所以12bc＝1，解得b＝c＝2，所以a2＝b2＋c2＝4，所以椭圆D的标准方程为x24＋y22＝1.(2)由题意可知直线MC的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋2)，代入x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，所以P－4k2－22k2＋1，4k2k2＋1.又M(2,4k)，所以OM―→·OP―→＝(2,4k)·－4k2－22k2＋1，4k2k2＋1＝4.[课时跟踪检测]A级1．(2019·长春二检)椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A．－23B．－32C．－49D．－94解析：选A设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x21＋9y21＝144,4x22＋9y22＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，y1－y2x1－x2＝k，代入解得k＝－23.2．已知直线y＝－x＋1与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB的长是()A.223B.423C.2D．2解析：选B由条件知c＝1，e＝ca＝22，所以a＝2，b＝1，椭圆方程为x22＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，43，－13，所以|AB|＝423.3．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.8105解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4t2－15.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·－85t2－4×4t2－15＝425·5－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且AF―→＝2FB―→，则该椭圆的离心率为()A.32B.23C.22D.33解析：选B由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立x2a2＋y2b2＝1，y＝x－c，得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2b2ca2＋b2，y1y2＝－b4a2＋b2，又AF―→＝2FB―→，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得－y2＝－2b2ca2＋b2，－2y22＝－b4a2＋b2.∴12＝4c2a2＋b2，∴e＝23，故选B.5．已知点P是椭圆x216＋y28＝1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且F1M―→·MP―→＝0，则|OM―→|的取值范围是()A．[0,3)B．(0,22)C．[22，3)D．(0,4]解析：选B如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.∵F1M―→·MP―→＝0，∴F1M―→⊥MP―→.又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．∵O为F1F2中点，∴OM綊12F2G.∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，∴|OM―→|＝12|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.∵4－22|PF2|4或4|PF2|4＋22，∴|OM―→|∈(0,22)．6．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2a2－1＝1(a＞1)，由|AB|＝3，知点1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝14(舍去)．故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝17．