数学方法论-2008-第五章

SZU第五章数学之数系引进过程中的规律------特殊到一般自言自语数学中不少结论由于其巧妙无比而令人赞叹，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。SZU§5.1实数系统[e-mail]实数系统的比喻一家人数系扩充概述连续统假设有理数集实数集德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。……Hilbert旅馆1.实数系扩充历史（1）自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。1.实数系扩充历史（2）分数（有理数）是“分”出来的，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数。1.实数系扩充历史（3）无理数是“推”出来的，公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。毕达哥拉斯(约公元前560——480年）1.实数系扩充历史（4）“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑。1.实数系扩充历史（5）负数是“欠”出来的，它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则。刘徽（公元250年前后）正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统。实数系统是一个没有缝隙的连续系统，任何一条线段的长度都是一个实数。实数的意义§5.2.复数系的产生与发展（1）复数是“算”出来的。复数最初是在解二次方程中出现的，1484年，法国数学家舒开（Chuquet,1445--1500）在其《算数三篇》中，解方程式4＋x2＝3x，得根x＝3/2±√(9/4-4)，他声明这个根是不可能的。复数系的产生与发展（2）意大利波洛尼亚大学数学教授卡达诺对于复数的建立起到重要作用。卡达诺(Cardano,1501--1576)复数系的产生与发展（3）1545年，卡达诺在《大衍术》中写到：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了。”15515540复数系的产生与发展（4）1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”（“想象中(imaginary)的数”）。笛卡尔(R.Descartes,1596--1661)复数系的产生与发展（5）1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”表示√(-1)，称为虚数单位。欧拉(L.Euler,1707~1783)复数系的产生与发展（6）在此之前的1748年，欧拉给出了著名公式eix＝cosx+isinx发现了复数与三角函数的关系。复数系的产生与发展（7）1799年德国数学家高斯已经知道复数的几何表示；1831年，他用数对来代表复数平面上的点：(a,b)代表a+bi。高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)复数系的产生与发展（8）(a,b)~a+biabOyx复数系的产生与发展（9）18世纪后期，随着复数与三角函数关系的揭示，复数的平面坐标的表达等，复数的意义逐渐被明确；19世纪上半叶，复变函数理论建立并得到广泛应用。复数系的产生与发展（10）1873年，我国数学家华衡芳(1833~1902)将意大利数学家邦贝利（Bangbeili1530~1590）《代数术》翻译为中文，将“虚数”引入中国。复数系是保持四则运算基本性质的最大数系3超复数的产生复数系的特点§5.3超复数的产生1843年爱尔兰数学家哈密尔顿发现有序四元实数组完全可以组成一个数系——叫“四元数”，这是一个乘法不满足交换律的数系。哈密尔顿（Hamilton,WilliamRowan,1805—1865）1.最简单超复数-四元数四元数（Quaternion）表示复数w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位：i*i=j*j=k*k=-1i*j=k,j*i=-k可以把四元数看做一个标量和一个R3中的向量的组合。实部w表示标量，虚部表示向量标记为V，或三个单独的分量（x,y,z）。四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表著一个四维空间，相对於复数为二维空间。i^2=j^2=k^2=-1(w^2+x^2+y^2+z^2)的平方根称为四元数的模.四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。2.四元数的简单性质3.超复数的产生1847年，英国数学家凯莱进一步发现了八元数。这个数系的乘法不满足交换律，也不满足结合律。凯莱(Cayley,Arthur.1821-1895)自然数N整数Z有理数Q实数R复数（二元）C四元数（乘法不可交换）八元数（超复数）（乘法不可交换，也不能结合）4数系扩充的科学道理数系扩充简图4.数系扩充的科学道理与过程（1）逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色：逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以致可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展。4.数系扩充的科学道理（2）自然数中减法产生0和负数，整数系统；整数中除法产生分数，有理数系统；自然数中开方产生无理数，实数系统；负数中开方产生虚数，复数系统。数系的每一次扩充，基本都是运算的需要1实数的结构数系产生的原因5.实数的结构实数中正、负数、有理数都是容易被认识的，而无理数则是神秘的、复杂的、难以被认识的；实数中，整系数代数多项式的根叫代数数，例如，1，1/2，31/2，其中有理数是整系数一次多项式的根；实数中不是代数数的数叫超越数，例如，，e。实数有理数无理数代数数超越数实数实数的分类§5.4有理数集1.有理数的代数属性有理数集是最小的数域有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律，具有这种性质的数集叫做数域。2.有理数的几何属性有理数在数轴上是稠密的、和谐的。稠密性：任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多么接近。和谐性：有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，永远找不到一个与之最接近的有理数。3.有理数的几何属性的表示011x这里有有理数这两位之间有有理数3.有理数的集合特点4.有理数的集合特点有理数是可数的——与自然数一样多比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。5.康托（GeorgCantor;1845—1918）1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。11岁时进入德国，1867年获柏林大学的博士学位，1872年升为教授。1874年开始研究比较无穷集的元素多少问题。先数数偶数这个世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？12345678…246810121416…知道了：所有正整数和所有正偶数都一样多！√再数数平方数这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？12345678…1222324252627282…知道了：所有平方数和所有正整数都一样多！√可数集像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫做可数集。因此偶数数集、平方数集都是可数集。5432112345xy1(1,1)2(2,1)3(1,2)4(3,1)5(2,2)6(1,3)………结论：格点数量=整数数量看看格点与整数的比较实例整数、格点与有理数的比较123456…(1,1)(2,1)(1,2)(3,1)(2,2)(1,3)…112112312213结论：整数数量=格点数量=分数数量有理数是可数集有理数集是可数集4.有理数的长度为06.有理数的长度为0有理数在数轴上所占的长度为0如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙，它们能占用多大的长度？7.有理数的长度为0有理数们，排出来！每“人”发一顶帽子戴一戴！,,,,,,,,,,321nrrrr,2,,2,2,232n……8.有理数的长度为0量一量有理数帽子总宽度！n222232Sosmall!有理数的长度为0!总结一下总结一下有理数的优点…从代数上看，有理数在四则运算下是封闭的，构成一个数域；从几何上看，有理数在数轴上是稠密的，因此，要去度量任何一件实际事物，不论要求多高的精度，只要有理数就够了；从测度上看，有理数很“轻巧”，它们是可数的，在数轴上所占用的长度为0看看有理数优点总结一下有理数的缺陷…说说有理数的缺陷从代数上看，有理数在开方运算下不封闭；从几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙；从分析上看，有理数对极限运算不封闭。实数集§5.5实数集1.实数理论的建立由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。有理数扩充的直接结果是实数集。关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。1.实数理论的建立19世纪，德国数学家康托（G.Cantor,1845---1918）、戴德金(J.W.R.Dedekind,1831—1916)、魏尔斯特拉斯（K.W.T.Weierstrass,1815—1897）通过对无理数本质进行深入研究，奠定了实数构造理论。康托（GeorgCantor;1845—1918）1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。11岁时进入德国，1867年获柏林大学的博士学位，1872年升为教授。1874年开始研究比较无穷集的元素多少问题。魏尔斯特拉斯﹐K.W.T.,WeierstrassK.T.WWeierstrass(1815—1897)德国数学家先修财务、管理、法律，后学数学1854年，哥尼斯堡大学名誉博士；1856年，柏林科学院院士数论、几何、复分析戴德金﹐R.(Dedekind,Richard__1916)戴德金﹐R.(Dedekind,Richard)1831年10月6日生于德国不伦瑞克；1916年2月12日卒于不伦瑞克。数学家。2.实数集的代数属性2.实数集的代数属性实数集是数域实数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律。要严格地证明这一点是困难的，它需要考虑实数的有序性、四则运算的具体定义等。3.实数集的几何属性3.实数集的几何属性实数在数轴上是连续的、无缝的。（1）数学分析中有六个等价命题单调有界数列收敛原理；致密性定理；Cauchy收敛准则;确界定理；聚点原理；闭区间套定理；有限覆盖定理.3.实数集的几何属性（2）可以进行极限运算——这是微积分建立的基础4.实数集的集合特点4.实数集的集合特点实数集是不可数的——与自然数不能建立1-1对应。假如实数可数，先把(0,1)内的编号吧！证一证nnnnnnnnnnnaaaaaaraaaaaaraaaaaaraaaaaar543213353433323132252423222121151413121110000假如可将0与1之间的实数编号：矛盾！构造一个（0，1）区间的数)1,0(0321naaaar,,,3,2,1,其中njaajjj,,,3,2,1,njrrj因此实数集是不可数的实数集是不可数集无限集合的基数集合的基数我们知道：自然数集、整数集、奇数集、偶数集、平方数集、有理数集、