数学方法论第一讲观察1修

1数学方法论与解题研究2数学方法论是一门什么样的学科数学方法与数学思想的区别与联系学习数学方法论的意义3数学方法论的含义数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。4数学宏观方法论所研究的是整个数学的产生、形成和发展的规律，数学理论的构造，以及数学与其它科学之间的关系。研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史。数学微观方法论所研究的是一些比较具体数学方法，特别是数学发现和数学创造的方法。包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论等等。5在我国，是由徐利治先生正式提出“数学方法论”这一名称，并使其成为一门独立的学科。迄今仅二十来年。徐利治先生指出：“方法沦(methodology)就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问……。6数学思想与数学方法现代汉语中，思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果．《辞海》称思想为理性认识．《中国大百科全书》认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果．可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识．7数学思想是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中．8数学方法的含义方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征．数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径．9数学思想与方法的关系数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；10数学思想与方法的关系数学思想和数学方法又具有相对性．同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想．11学习数学方法论的意义1、从数学思想方法的意义看2、从当前数学课堂教学现状看12从数学思想方法的意义看21世纪是“知识经济时代”，国际竞争是“创新能力”的竞争，高科技的竞争，若把“高科技”比作皇冠的话，数学就是皇冠上的一颗明珠。就是说要培养21世纪高科技创新人才，首先应培养具有创新思维能力的“数学王子”。13从数学思想方法的意义看在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才、迎接新世纪国际高科技挑战的必由之路。14安东尼奥和鲍希亚肖像在这盒中金盒肖像不在这盒中银盒肖像不在金盒中铜盒1520世纪80年代，中国曾派一个访问团，去美国考察初级教育。回国后，写了一份三万字的报告，在见闻录部分有四段文字：30年：两个错误的教育预言161、学生无论品德优劣、能力高低，无不趾高气扬、踌躇满志，大有“我因我而不同凡响”的意味。•2、小学二年级的学生大字不识一斗，加减乘除还在掰手指头，就整天奢谈发明创造，在他们手里，让地球翻转调个头，好像都易如反掌。•3、重音体美，而轻数理化，无论是公立还是私立学校，音体美活动无不如火如荼，而数理化则乏人问津。•4、课堂几乎处于失控状态，学生或挤眉弄眼，或谈天说地，或跷二郎腿，更有甚者，如逛街一般，在教室里摇来晃去。17最后，在结论部分，是这么写的：美国的初级教育已经病入膏肓，可以这么预言，再过20年时间，中国的科技和文化必将赶上和超过这个所谓的超级大国。18在同一年，作为互访，美国也派了一个考察团来到中国。他们在看了北京、上海、西安的几所学校后，也写了一份报告，在见闻录部分也有四段文字：191、中国的小学生在上课时喜欢把手放在胸前，除非老师发问时，举起右边的一只，否则不轻易改变；幼儿园的学生则喜欢把手背在后面，室外活动时除外。2、中国的学生喜欢早起，七点钟之前，在中国的大街上见到的最多的是学生，并且他们喜欢边走路边用早点。3、中国学生有一种作业叫“家庭作业”，据一位中国老师解释，它的意思是“学校作业在家庭的延续”。4、中国把考试分数最高的学生称为学习最优秀的学生，他们在学期结束时，一般会得到一张证书，其他人则没有。20在报告的结论部分是这样写的：中国的学生是世界上最勤奋的，在世界上也是起得最早、睡得最晚的；他的学习成绩和世界上任何一个国家的同年级的学生比较，都是最好的。可以预测，再用20年时间，中国在科技和文化方面，必将把美国远远甩在后面。2130年过去了，美国“病入膏肓的教育制度”共培养了几十位诺贝尔奖得者和一百多位知识型的亿万富豪，而中国还没有哪一所学校培养出一名这样的人才。两家的预言都错了。22中美教育各有优点。中国教育的优点是使学生积累了大量的理论知识，培养了尊敬师长的美德，打下了坚实的基础。美式教育培养了学生的个性化和创新意识，使其想象力、创新能力、实践能力大大扩展了。23知识的冰山模型明确知识（是什么、为什么）•主要是事实和原理的知识•存于书本，可编码（逻辑性）、可传递（共享性）、可反思（批判性）默会知识（怎么想、怎么做）•本质上是理解力和领悟•存于个人经验（个体性）、嵌入实践活动（情境性）24从当前数学教学现状看多年来，我国中小学依然存在费时低效的现象，表现在教师讲解例题多，学生按套路题解多，对复杂化的题型束手无策，更谈不上创造性地解决实际问题。从思维方法训练的角度反省，原因在于教师过分看重思维结果，偏重灌输，忽视学生思维过程的展示，以及错误思维过程的暴露。只有让学生经历思考过程，获得思维方法，才能真正内行为经验和知识，形成能力。25为了防止注入式，采用启发式，在教学中我常采用分析综合法，这种方法的关键在于分析部分。通常，学生也认为这样的讲课有启发。可是，有一天，发生了这样一件事。一位学生在课余对我讲：分析法很好，做习题时我也学着用，但有时遇到下面这种情况：A←B←C←D←A案例26这就是我们常讲的“恶循环”。思维过程中出现这种恶循环，就应改变思维方向，否则思维受阻。这位学生困惑不解的问我：“为什么老师讲课时不会出现这种恶循环呢？为什么每次分析总是百发百中，无往而不利呢？其中是不是有秘诀？”27我想了想，坦白的告诉他：“为什么能百发百中，是因为昨天晚上我备了课。”我继续对他讲：“如果不备课，或者你突然要我解一道难题，我的思维同样会受阻，会碰壁。不过，在碰壁前，常常有预感——快要碰壁了。有时直觉还会告诉我，应向左转或右转，就能挣脱困境。”28此时这个学生非常兴奋，“老师，下次讲课，就讲您是怎样从困境中挣脱出来的。就讲您是怎样预感到要碰壁的，讲您拐弯的经验，不要老是百发百中。”29这件是给我很大的震动——“老师，下次讲课，就讲您是怎样从困境中挣脱出来的。就讲您是怎样预感到要碰壁的，讲您拐弯的经验，不要老是百发百中。”回去以后，我反复思考这个学生的意见，很有感慨。是啊，人的一生必定会遇到许多沟沟坎坎，遭遇到很多困境，而关键是“怎样从困境中挣脱出来”，这对于学生来说太重要了。30第一讲公理化思想31欧几里得（Euclid）(公元前330年～前275年)是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世。大约在公元前330年生于雅典，深知柏拉图的学说。一、欧氏几何的诞生32公元前300年左右，欧几里德在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，完成惊世鸿著《几何原本》欧几里德的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一——罗素33二、《几何原本》的历史背景古希腊数学的发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。34泰勒斯毕达哥拉斯柏拉图雅典时期(公元前600年一公元前300年左右)35亚历山大时期(公元前300年一641年)希腊数学高度发展阶段，可分为前后两期。在这三四百年间，数学舞台上活跃着古希腊最杰出的大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼，他们对数学的发展做出了永载史册的功绩，这一时期是希腊数学的黄金时代。亚历山大后期是指罗马人统治下的时期。虽然这时期还出现了像海伦、梅内劳斯、丢番都等出色的数学家，但随着亚历山大城政治文化地位的衰落，希腊数学也接近了尾声。36第一卷一开始提出23个定义，以下是其中的8个：点没有部分线有长度没有宽度线的界限是点直线是这样的线，它上面的点是同样放着的面只有长度和宽度面的界限是线平面是这样的面，它上面的直线是同样放着的平面上的角是平面上两相交直线相互的倾斜度三、欧氏几何的主要内容37定义之后列出公设和公理各五条：公设从任一点到另一点可以作直线．一条有限直线可以无限延长．以任意点为中心，以任意长为半径可以作圆周．凡直角都相等．平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于截线的这一侧．38公理(涉及一般逻辑的概念)等于同一量的量彼此相等．等量加上等量，其和仍相等．等量减去等量，其差仍相等．相互合同的就是相等的．全量大于部分。39第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重要的数学杰作之一。第六卷的内容是相似的理论。40第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理。第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。最后三卷，即第十一、十二和十三卷，论述立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在《几何原本》中找到。41四、欧氏几何的优缺点优点:陈述方式是史无前例的；对公理的选择非常出色；缺陷：它的定义不能成为一种数学定义，有的不过是几何对象，如点，线，面等的一种直观描述，有的含混不清；它的公设和公理远远不够用。42五、欧氏几何的历史地位尽管《几何原本》存在着一些结构上的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远．使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。43《几何原本》作为教科书使用了两千多年。《几何原本》被称为数学家的圣经。在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。44《几何原本》的主要贡献（1）成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。（2）对命题作了公理化演绎。从定义，公理，公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。（3）几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。45六、欧氏几何与数学的公理化思想所谓公理化思想就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。46《几何原本》正是按照公理化思想，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。《几何原本》成为了两千多年来运用公理化思想的一个绝好典范。47七、公理化思想的完善与发展希尔伯特（Hilbert,David）（1862—1943)于1899年发表《几何基础》，为重建公理化方法作出了重大贡献。希尔伯特把公理化思想明确而严格地确立了下来。对公理化提出了一些逻辑上的要求：48（1）完备性.所有的定理都可以从这组公理中推导出来。（2）独立性.一组公理中的每一个公理都不是其他公理的逻辑推论；（3）相容性.从这些公理出发不能推出相互矛盾的定理。49欧氏几何与其说欧几里得创造了一种新数学，不如说他把旧数学变成一种清晰明确，有条不紊，逻辑严谨的新数学。欧几里得成功地将零散的数学理论编为一个从基本假