3.2.3-函数的奇偶性与单调性(综合应用)

3.2单调性与奇偶性（综合应用）黄陂七中高一数学备课组讲课人：邢启强2函数单调性的概念：一般地，函数f(x)的定义域为I：2.如果对于属于定义域内某个区间D的任意两个称函数f(x)在区间D上单调递减。函数的单调性是函数的“局部性质”，它与区间密切相关复习旧知特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数1.如果对于属于定义域内某个区间D的任意两个称函数f(x)在区间D上单调递增。讲课人：邢启强31.偶函数定义2.奇函数定义3.奇偶函数的图象特征一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称复习旧知一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有－xI且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有－xI且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．讲课人：邢启强421.()=(3)(2)fxkkx例（1）如果x+3是偶函数，则函数的增区间_______（－∞,0]典型例题22.()=ax+fx（）如果+bx3a+b是偶函数，定义域为[a-1,2a],则a=____,b=___1,03ab讲课人：邢启强5.(1)()0()(1),0()_____fxRxfxxxxfx例2已知函数是定义在上的偶函数，且当时，则当时，2(2)x0()231,()___________fxxxfx已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则函数的解析式为典型例题22231,0()0,x=0231,0xxxfxxxx()(1)fxxx讲课人：邢启强653.(1)(),(3)5,(3)______fxaxbxcxff例3函数若则553(2)()1,(3)5,(3)____fxaxbxcxff函数若则3典型例题解：(2)设g(x)=53axbxcx,g(x)是奇函数f(x)=g(x)+1,因为f(－3)＝5，所以g(－3)＝4所以g(3)=-4,所以f(3)=-3解：(1)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3)＝-5讲课人：邢启强71.()()(),fxfafbabababab已知偶函数在[0,+)上是增函数，若则必有（）A、B、C、D、.()[3,7]1[7,3]fx2若奇函数在上是增函数，且最小值是，则它在上是（）A、增函数且最小值是1B、增函数且最大值是1C、减函数且最大值是1D、增函数且最小值是-1主要思路：结合图象思考3.+定义在实数集R上的奇函数f(x)在（0，）上是单调增函数，且f(x)的图像过点（1，0），求满足f(x)0的x的取值范围。讲课人：邢启强8学习新知已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且在(0,+∞)是单调递增.那么y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调性如何?奇函数的图象关于坐标原点对称,所以在两个对称的区间上单调性相同.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.证明：:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1x2,则-x1-x20,∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增,∴f(-x1)f(-x2).∵y=f(x)在R上是奇函数,∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),∴-f(x1)-f(x2),∴f(x1)f(x2).∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增.讲课人：邢启强9学习新知已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)是单调递增.那么y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调性如何?偶函数的图象关于y轴成轴对称,所以在两个对称的区间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递减.证明：:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1x2,则-x1-x20,∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增,∴f(-x1)f(-x2).∵y=f(x)在R上是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),∴f(x1)f(x2),∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是单调递减.讲课人：邢启强10例3.已知f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，在[0,1]上是单调递减且f(1－x)f(x),求x的取值范围.典型例题变式：已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，在[0,1]上单调递减且f(1－x2)+f(1－x)0,求x的取值范围.11[0,)[0,)22x解得，所以的取值范围为[0,1)解:∵f(x)是偶函数,在[0,1],f(x)是减函数,∴不等式f(1-x)f(x)等价为f(|1-x|)f(|x|),即|1-x||x|,f(x)定义域是[－1，1]11111|1-|||xxxx讲课人：邢启强11巩固练习(),()()(),0()0(1)2.(1)()2()(25)(67)4.fxxyRfxyfxfyxfxffxfxfxfx1,设函数对任意都有且当时，，又证明：为奇函数；（）证明：在R上是减函数；（3）解不等式13,)5（3）x(讲课人：邢启强121.已知函数f(x)，当x,y∈R时，恒有f(x+y)+f(x－y)=2f(x)f(y)，求证：f(x)是偶函数作业证明:令x=0,y=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①令y=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.讲课人：邢启强132.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足当x,y∈(0,+∞)时，恒有f(xy)＝f(x)+f(y)，且当x1时，f(x)0,求证：f(x)是增函数证明：12,(0,),xx且12xx那么f(x2)－f(x1)=21()xfx0所以f(x)是增函数