苏教版八上期中复习知识点+练习

八上期中复习第二单元轴对称一、轴对称与轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.思考：你能说明轴对称与轴对称图形的区别与联系吗？二、轴对称的性质垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。轴对称的性质：1．成轴对称的两个图形全等．2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．3.轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上．4.轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．三、线段、角的轴对称性线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．判定定理到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．定理角平分线上的点到角两边的距离相等．判定定理到角两边距离相等的点在角平分线上。四、（一）、等腰三角形的轴对称性等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线）所在直线是它的对称轴.性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.判定定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.（等角对等边）等边对等角和等角对等边是互逆命题。（二）、等边三角形等边三角形是一个轴对称图形，它有_____条对称轴。等边三角形的任意一角的角平分线（对边上的高、中线）所在直线是它的对称轴.性质定理：等边三角形的三个内角都等于600等边三角形的任意一角的角平分线、对边上的中线、对边上的高互相重合.判定定理：三个内角相等的三角形是等边三角形有一个角是600的等腰三角形是等边三角形（三）直角三角形定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半特殊直角三角形性质：含30°角的直角三角形，300所对的直角边为斜边的一半。尺规作图：作线段的垂直平分线；知识拓展：三角形的内心----三角形内角平分线的交点。三角形的外心----三角形三边垂直平分线的交点。三角形的重心----三角形三边中线的交点。应用链接：最短路径问题。第三单元勾股定理1.勾股定理---运用拼图的方式，利用等面积转换来验证勾股定理。（1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明。（3）应用a.在直角三角形中已知两边求第三边。b.在直角三角形中已知两边求第三边上的高。拓展延伸：a、勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。b、勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。2.勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。注意：a、还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。b、不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示：勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边在△ABC中，a2+b2=c2，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边结论a2+b2=c2∠C=90°区别勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“这个三角形的三边满足a2+b2=c2”，即由“形”到“数”勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”联系都与“一个三角形的三边关系a2+b2=c2”及“直角三角形”有关（2）、勾股数----满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数。详解：a、如：32+42=52，所以3,4,5是一组勾股数，常见的勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；8，15，17等。b、勾股数必须是正整数。c、一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。d、记住常用的勾股数可以提高做题速度。3、勾股定理的简单应用（1）、勾股定理的应用运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际问题时，应先构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。注意：应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边，以便进行计算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。（2）、勾股定理的逆定理的应用在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。第四单元实数二次根式一、相关定义1、二次根式的概念：式子)0(aa叫做二次根式。（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a与a；dcba与dcba）2、二次根式的性质：（1）具有双重非负性：a≥0，≥0.（2）)0()(2aaa；（3）)0()0(2aaaaaa；3、积的算术平方根的性质：baab（a≥0，b≥0）；4、商的算术平方根的性质：)0,0(bababa5、最简二次根式定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。6、同类二次根式一般地，把几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开放数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。二、二次根式的运算：1、二次根式的乘法：abba（a≥0，b≥0）。2、二次根式的除法：)0,0(bababa3、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。4、分母有理化---把分母中的根号化去5、二次根式的混合运算运算顺序与实数混合运算顺序一样，结果要化为最简二次根式。一．选择1.下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A.18B.13C.24D.0.32．已知等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是……………………（）A．17B．15C．13D．13或173．下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：4C．a＝32，b＝42，c＝52D．a＝，b＝，c＝4.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或855．下列说法正确的是（）A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B．三角形的外角等于它的两个内角的和C．斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等6．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处7.若式子331212mmmm，则m取值范围是…………………………（）A.12mB.3mC.132mD.1-32m8.到三角形三个顶点的距离相等的点一定是………………………………………（）A.三边垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点二、填空9.16的平方根是______；64的立方根是______；7－3的绝对值是______．10.若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为。11.△ABC中，∠A=80°，当∠B=时，△ABC是等腰三角形.12.若最简二次根式2x、3y是同类二次根式，则x﹣y＝．13.若+|b﹣3﹣2|＝0，则a2018×b2019＝。14．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD=AE，则∠EDC的度数为________．15．如图，△ABC中，AB+BC=8，A、C关于直线DE对称，则△BCD的周长是___________．第14题第15题第16题16．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝°．17．若直角三角形斜边上的高，中线长分别为2cm，3cm，则这个三角形的面积是cm2．18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．若AC＝4，则四边形DECF面积．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD为△ABC的角平分线，与BC相交于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是．20．在锐角△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2cm，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是BD和BC边上的动点，则MN+MC的最小值是．21．如图所示，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是．22．如图，点A、C、D、E在Rt△MON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE＝a，BH＝b，DF＝c，图中阴影部分的面积为（用含a，b、c的代数式表示）．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以CB，AB为直角边，B为直角顶点，在CB两侧作等腰Rt△BCD、等腰Rt△ABE，连接DE交CB于F点，若CA＝8，则BF的长是．24.如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，AB＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时AP的值为．三．计算25（1）计算：﹣2+（2）当x＝+1，y＝﹣1时，求代数式x2﹣y2+xy的值26．已知x＝1﹣a，y＝2a﹣5．（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．四．解答27．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．28．阅读下列解题过程例：若代数式的值是2，求a的取值范围．解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）所以，a的取值范围是1≤a≤3上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题（1）当2≤a≤5时，化简：＝；（2）若等式＝4成立，则a的取值范围是；（3）若＝8，求a的取值．29.如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，同时，点Q从点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，连接BE交CD于点F，连接PF．（1）求∠PBE的度数为；（2）连接FQ，当△PQF是以PF为腰的等腰三角形时，求AP的长