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第一章单自由度系统总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有:牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、牛顿第二定律法适用范围:所有的单自由度系统的振动。解题步骤:(1)对系统进行受力分析,得到系统所受的合力;(2)利用牛顿第二定律Fxm,得到系统的运动微分方程;(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。2、动量距定理法适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤:(1)对系统进行受力分析和动量距分析;(2)利用动量距定理JM,得到系统的运动微分方程;(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。3、拉格朗日方程法:适用范围:所有的单自由度系统的振动。解题步骤:(1)设系统的广义坐标为,写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;(2)由格朗日方程LLdt)(=0,得到系统的运动微分方程;(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。4、能量守恒定理法适用范围:所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤:(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式;进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const(2)将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即0)(dtUTd,进一步得到系统的运动微分方程;(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。方法一:衰减曲线法。求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值iA、1iA。(2)由对数衰减率定义)ln(1iiAA,进一步推导有212,因为较小,所以有2。方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。(1)通过实验,绘出系统的幅频曲线,如下图:单自由度系统的幅频曲线(2)分析以上幅频曲线图,得到:4/22/max2,1;于是221)21(n;进一步222)21(n;最后nn2/2/12;叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个:幅频(相频)曲线法和功率法。方法一:幅频(相频)曲线法当单自由度系统在正弦激励tFsin0作用下其稳态响应为:)sin(tAx,其中:222222020414stnxnmFA;(1)21/2arctan(2)从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数,由上述(1),(2)式求得阻尼比。方法二:功率法:(1)单自由度系统在tFsin0作用下的振动过程中,在一个周期内,弹性力作功为0cW、阻尼力做功为2AWcd、激振力做作功为sin0FWf;(2)由机械能守恒定理得,弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零,即:cW+dW+0fW;于是sin0F-02Ac进一步得:cFAsin0;(3)当n时,1sin,则2maxstxA,得21max,max2。求图1-35中标出参数的系统的固有频率。(1)此系统相当于两个弹簧串联,弹簧刚度为k1、简支梁刚度为3248LEIk;等效刚度为k;有21111kkk;31214848111lkEIEIkkkkL2LmlkEIEIlmk31348483148lEIkk2L1k33148mlEIlkmk113333EIEIkkkll3133klEIkmml00IFmlkllkl2121212111221ml1k1k021mkmk21解:以为广义坐标,则系统的动能为mmmAB0k2022121IxmTTT)(轮子重物2222244)21(21221xgPxgPRxRgPxgP)(图1-3422xgP系统的势能能为:221kxPxUUU弹簧重物;拉格朗日函数为L=T-U;由拉格朗日方程0)(xLxLdt得0kxxgP则,0=Pkg所以:系统的固有频率为Pkg求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R,质量为M,作纯滚动。弹簧刚度为K。解:磙子作平面运动,K其动能T=T平动+T转动。x图1-3522221;211;222TMxxMRxTIRR平动转动222434121xMxMxMT;而势能221KxU;系统机械能CKxxMUT222143;RM由0UTtdd得系统运动微分方程023KxxM;得系统的固有频率MKn32;求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,解:由齿轮转速之间的关系BBAArr得角速度ABABrr;转角ABABrr;系统的动能为:222121BBAABAJJTTTCA22222241221221AABABBBAAArmmrmrmT;BD图1-36系统的势能为:222222221212121ABABABBAABBAArrKKKKKKU;系统的机械能为CrrKKrmmUTABABAAABA222222141;由0UTtdd得系统运动微分方程021222ABABAAABArrKKrmm;因此系统的固有频率为:BABABAAABABABAnmmrrKKrrmmrrKK22222212;已知图1-37所示振动系统中,匀质杆长为L,质量为m,两弹簧刚度皆为K,阻尼系数为C,求当初始条件000时(1)tFtfsin)(的稳态解;Cf(t)(2)tttf)()(的解;L2L22222)(22LKLtfLKLCJ222222212LLLLmLdrLmrdmrJ)(663222tLfKLCLmL)(663tfmLmKmCtFtfsin)(tFtfsin)(tFmLmKmCsin663;6;6;322mLFhmKmCnnthnnsin22)sin(tAx2222222229664CmKLFnhAn222632mKCarctgnarctgn)()(ttf)()(ttf)(663tmLmKmC;6;6;322mLhmKmCnn)(22thnn)(th)(0thhtdthtdthtd00000000)()(0)000000tdhtd000tAexdtnsin;0;dmhAtemhtAexdtnddtnsinsin2021mVmgHgHV20gHV200KxxCxm;0xmKxmCx;022xxnxntAexdtnsindddngHxxxxA20200200000xxxarctgnd;sin2tgHxdd)()(11yycyykymyy2C11yckykyycym)sin(athy)sin()cos(atkhatachkyycym)sin(atAyhcmkckA222222)(2))(tan(2223cmkkmcacra电磁激振力可写为tHtF02sin)(,求将其作用在参数为m、k、c的弹簧振子上的稳态响应。解:首先将此激振力按照傅里叶级数展开:10))sin()cos((2)(iiitibtiaatF其中:dttitFTaTi0)cos()(2;TidttitFTb0)sin()(2因为)(sin)(02tHtF是偶函数,所以0ib。mm于是)2cos(22)(0tHHtF而)2/2sin(2)(0atAkHtx;式中20220216)4(2nmHAn;20242arctannna;mkmcnn2,2.若流体的阻尼力可写为3xbFd,求其等效粘性阻尼。解:(1)流体的阻尼力为3xbFd;(2)设位移为)cos(tAx,而tdxdx;(3)流体的阻尼力的元功为)(3tdxxbdxFdWdd;(4)流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为:4344343)]cos([AbdtatAbdtxbdxxbdxFWd(5)粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为:2cA(6)等效粘性阻尼:取n,令4343Abn2Aceqn可得:2243Abcneqkkk第二章两个自由度系统求如图2-11所示系统的固有频率和固有振型,并画出振型。解:(1)系统的振动微分方程)(2111xxkkxxm;X1X22122)(kxxxkxm;mm即02211kxkxxm;02212kxkxxm;(1)图2-11(2)系统的特征方程根据微分方程理论,设方程组(1)的解为:)sin(11tAx;)sin(22tAx(2)将表达式(2)代入方程组(1)得:0)sin()2(2112tkAkAAm0)sin()2(2122tkAkAAm(3)因为)sin(t不可能总为零,所以只有前面的系数为零:;0)2(;0)2(221212AmkkAkAAmk;即00222122AAmkkkmk;(4)(1)系统的频率方程若系统振动,则方程有非零解,那么方程组的系数行列式等于零,即:02222mkkkmk;展开得0342242kmkm;(5)系统的固有频率为:mK/1;23/;Km(6)(2)系统的固有振型将1,2代入系统的特征方程(4)式中的任一式,得系统的固有振型,即各阶振幅比为:;11)1(2)1(1)1(AA;11)2(2)2(1)2(AA(7)系统各阶振型如图所示:其中(a)是一阶振型,(b)是二阶振型。+1+1+1(a)(b)-1(3)系统的主振动系统的第一主振动为)sin()sin(;)sin()sin(1)1(1)1(11)1(2)1(21)1(111)1(1)1(1tmkAtAxtmkAtAx系统的第一主振动为)3sin()sin(;)3sin()sin(1)2(1)2(12)2(2)2(21)2(112)2(1)2(1tmkAtAxtmkAtAx确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。解:(1)系统的动能2221222121)(21)2(21umu
本文标题:结构动力学习题解答
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