于老师对三角函数的引入

1初中数学骨干教师群摘录《三角函数第1课时》导入设计人:常州于新华老师整理人：黄孝荣教师：梯子是生活中常见的工具。架梯子需要注意什么？学生：太平缓，架不住；太陡峭，要翻身，非常危险！教师：所以我们要考虑梯子架设时，倾斜程序要适中，那么用数学眼光来思考这个问题，如何可以刻画梯子的倾斜程度呢？学生：梯子与地面所成的角。（教师给予肯定，这样的回答当然是正确的）教师：但是生活中，真正用量角器量角的情况很少，更多的情况是喜欢用长度来刻画某种状态。为了叙述方便，将梯子顶端到地面的距离称为“竖直距离”，梯子底端到墙面的距离称为“水平距离”。我们来思考，如何从这两个量的角度来刻画梯子的倾斜程度。（然后画出各种情况，增加学生的感受与判断）教师：比较梯子AB和EF哪个更陡？2教师：第一组呢？谁陡？为什么？学生：水平距离相同，竖直距离越大，梯子就越陡；……教师：第二组呢？谁陡？为什么？学生：当竖直距离相同时，水平距离越小，梯子就越陡；……教师：第三组呢？“水平距离”与“竖直距离”均不相同！学生：他们“水平距离”与“竖直距离”虽然不同，但对应成比例，利用相似知识可以说明它们与地面构成的倾斜角相同，从而得知它们的倾斜程度相同！（此时，可以可演示平行移动的效果，从小梯子平行移动到大梯子……在前面的基础上，最关键的时候，也是最难的时候来了）教师：当水平距离与竖直距离都不相同，且梯子也不平行，此时如何判断梯子的倾斜程度呢？教师：由前面可以知道，当“水平距离”相同时，要判断梯子的倾斜程度，只要看“竖直距离”即可。那么现在它们的“水平距离”并不相同，那么能否将它们化成相同呢？由前面平行的情况可以知道，借助相似知识，这是不难办到的。教师：为了便于表述，将将两个梯子分别记为A与B，那么谁向谁转化呢？是A→B，还是B→A呢？3教师自言自语：就大道理讲，这两种方案都能够行得通，但就感觉而言，无论哪一种方案，似乎都有一点“厚此薄彼”的味道，本来A与B是对等的，但这两种方案处理并不对等。那么有没有合理的，对等的方案呢？（教师给学生思考一会儿，能够类比其他现象则更好。然后故作顿悟状，脑门一拍：有啊！）教师：我们只要将它们的“水平距离”都化成1，不就得了？！这既公平，又简洁！那么同样为了便于叙述，将梯子的“水平距离”记为a，“竖直距离”记为b，那么请同学们思考，当将“水平距离”化成1的时候，“竖直距离”变成了多少？学生：不难得到“竖直距离”为ab。（这样在教师的积极引导下，学生们马上达到一个共识，就一个梯子而言，如果从边的角度来刻画其倾斜程度，只需用ab即可）紧接着，定性描述，即当ab越大，梯子就越陡。ab越小，梯子就越缓。在此基础上，提醒学生，另一方面，梯子的倾斜程度是可以用倾斜角来刻画的。两者汇在一起，马上得到一个感性认识：角越大，ab就越大；角越小，ab就越小。就是说，ab随着角的大小变化而变化。教师：同学们，这种说法让我们想起了什么？学生：函数4教师：我们将ab这个比值称为∠B的正切值，记为tanB=ab。（在此基础上，一方面要表现出颇有成就感的样子，另一方面，又故作迟疑沉思状……）教师：这样的定义是否合理呢？假如有两个人同时计算∠B的这个值，即前面所说的“正切值”，一个人在梯子上取点D，而另一个人在梯子上取另一点E，……，他们计算的结果会相同吗？如果不相同，那么这样的定义岂不完蛋了？！事实上，谁能保证他们两个人取的点一定相同呢？通常情况下，他们取的点十有八九不相同。学生：比值不变，因为有相似保证。教师：就是说，一个大小确定的角的正切值与取哪一个点无关。这也就说明了，前面对“正切”的定义是合理的。至此，大功告成。