2011年湖北省高考数学试卷(理科)

第1页（共18页）2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i为虚数单位，则20111()(1ii)A．iB．1C．iD．12．（5分）已知2{|logUyyx，1}x，1{|Pyyx，2}x，则(UPð)A．1[2，)B．1(0,)2C．(0,)D．(，10)(2，)3．（5分）已知函数()3sincosfxxx，xR，若()1fx…，则x的取值范围为()A．{|3xkxk剟，}kZB．{|223xkxk剟，}kZC．5{|66xkxk剟，}kZD．5{|2266xkxk剟，}kZ4．（5分）将两个顶点在抛物线22(0)ypxp上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．0nB．1nC．2nD．3n…5．（5分）已知随机变量服从正态分布2(2,)N，且(4)0.8P，则(02)P等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.26．（5分）已知定义在R上的奇函数()fx和偶函数()gx满足()()2(0,1)xxfxgxaaaa．若g（a）a，则f（a）()A．2B．154C．174D．2a7．（5分）如图，用K、1A、2A三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且1A、2A至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、1A、2A正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()第2页（共18页）A．0.960B．0.864C．0.720D．0.5768．（5分）已知向量(,3)axz，(2,)byz，且ab，若x，y满足不等式||||1xy„，则z的取值范围为()A．[2，2]B．[2，3]C．[3，2]D．[3，3]9．（5分）若实数a，b满足0a…，0b…，且0ab，则称a与b互补，记22(,)ababab那么(,)0ab是a与b互补的()A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：300()2tMtM，其中0M为0t时铯137的含量．已知30t时，铯137含量的变化率是102In（太贝克/年），则(60)(M)A．5太贝克B．752In太贝克C．1502In太贝克D．150太贝克二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）181()3xx的展开式中含15x的项的系数为．（结果用数值表示）12．（5分）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为．（结果用最简分数表示）13．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．14．（5分）如图，直角坐标系xOy所在平面为，直角坐标系xOy（其中y与y轴重合）所在的平面为，45xOx．（Ⅰ）已知平面内有一点(22P，2)，则点P在平面内的射影P的坐标为；（Ⅱ）已知平面内的曲线C的方程是22(2)220xy，则曲线C在平面内的射影C的方程是．第3页（共18页）15．（5分）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n„时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当6n时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知1a，2b，1cos4C（Ⅰ）求ABC的周长；（Ⅱ）求cos()AC的值．17．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x剟时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0200x剟时，求函数()vx的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()fxxvx可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．第4页（共18页）18．（12分）如图，已知正三棱柱111ABCABC的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合．（Ⅰ）当1CF时，求证：1EFAC；（Ⅱ）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值．19．（13分）已知数列{}na的前n项和为nS，且满足：1(0)aaa，*1(nnarSnN，rR，1)r．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若存在*kN，使得1kS，kS，2kS成等差数列，试判断：对于任意的*mN，且2m…，1ma，ma，2ma是否成等差数列，并证明你的结论．20．（14分）平面内与两定点1(,0)Aa，2(Aa，0)(0)a连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（Ⅱ）当1m时，对应的曲线为1C；对给定的(1m，0)(0，)，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点．试问：在1C上，是否存在点N，使得△12FNF的面积2||Sma．若存在，求12tanFNF的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（Ⅰ）已知函数()1fxlnxx，(0,)x，求函数()fx的最大值；（Ⅱ）设1a，1(1bk，2，)n均为正数，证明：（1）若112212nnnabababbbb„，则12121nbbbnaaa„；（2）若121nbbb，则1222212121nbbbnnbbbbbbn剟．第5页（共18页）2011年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i为虚数单位，则20111()(1ii)A．iB．1C．iD．1【解答】解：11iii2011201131()1iiiii故选：A．2．（5分）已知2{|logUyyx，1}x，1{|Pyyx，2}x，则(UPð)A．1[2，)B．1(0,)2C．(0,)D．(，10)(2，)【解答】解：由集合U中的函数2logyx，1x，解得0y，所以全集(0,)U，同样：1(0,)2P，得到1[2UPð，)．故选：A．3．（5分）已知函数()3sincosfxxx，xR，若()1fx…，则x的取值范围为()A．{|3xkxk剟，}kZB．{|223xkxk剟，}kZC．5{|66xkxk剟，}kZD．5{|2266xkxk剟，}kZ【解答】解：函数()3sincos2sin()6fxxxx，因为()1fx…，所以2sin()16x…，所以，522666kxkkZ剟所以()1fx…，则x的取值范围为：{|223xkxk剟，}kZ故选：B．4．（5分）将两个顶点在抛物线22(0)ypxp上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形第6页（共18页）个数记为n，则()A．0nB．1nC．2nD．3n…【解答】解：22(0)ypxP的焦点(2pF，0)等边三角形的一个顶点位于抛物线22(0)ypxP的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率3tan303k，其方程为：3()32pyx，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故2n，故选：C．5．（5分）已知随机变量服从正态分布2(2,)N，且(4)0.8P，则(02)P等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【解答】解：随机变量X服从正态分布2(2,)N，2，得对称轴是2x．(4)0.8P(4)(0)0.2PP厔，(04)0.6P(02)0.3P．故选：C．6．（5分）已知定义在R上的奇函数()fx和偶函数()gx满足()()2(0,1)xxfxgxaaaa．若g（a）a，则f（a）()第7页（共18页）A．2B．154C．174D．2a【解答】解：()fx是定义在R上的奇函数，()gx是定义在R上的偶函数由()()2xxfxgxaa①得()()2()()xxfxgxaafxgx②①②联立解得()xxfxaa，()2gx由已知g（a）a2af（a）f（2）2215224故选：B．7．（5分）如图，用K、1A、2A三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且1A、2A至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、1A、2A正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576【解答】解：根据题意，记K、1A、2A正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）0.9；1A、2A至少有一个正常工作的概率为1()()10.20.20.96PBPC；则系统正常工作的概率为0.90.960.864；故选：B．8．（5分）已知向量(,3)axz，(2,)byz，且ab，若x，y满足不等式||||1xy„，则z的取值范围为()A．[2，2]B．[2，3]C．[3，2]D．[3，3]【解答】解：(,3)axz，(2,)byz，第8页（共18页）又ab()23()230xzyzxyz，即23zxy满足不等式||||1xy„的平面区域如下图所示：由图可知当0x，1y时，z取最大值3，当0x，1y时，z取最小值3，故z的取值范围为[3，3]故选：D．9．（5分）若实数a，b满足0a…，0b…，且0ab，则称a与b互补，记22(,)ababab那么(,)0ab是a与b互补的()A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若22(,)0ababab，则22()abab，两边平方解得0ab，故a，b至少有一为0，不妨令0a则可得||0bb，故0b…，即a与b互补；若a与b互补时，易得0ab，故a，b至少有一为0，若0a，0b…，此时2220ababbb，同理若0b，0a…，此时2220ababaa，即(,)0ab，第9页（共18页）故(,)0ab是a与b互补的充要条件．故选：C．10．（5分）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：300()2tMtM，其中0M为0t时铯137的含量．已知30t时，铯137含量的变化率是102In（太贝克/年），则(60)(M)A．5太贝克B．752In太贝克C．1502In太贝克D．150太贝克【解答】解：3001()()2230tMtMln，011(30)()210230