初中数学人教版八年级上册《最短路径》教学设计

13.4《课题学习——最短路径问题》教学设计（2个课时）广州四中新世界校区数学科陈玲一、教学内容与内容分析1、教学内容：利用轴对称、平移等变换研究最短路径问题2、内容分析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，在初中阶段，主要以“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，同时借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。本课主要内容是利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，是轴对称知识的应用，学习它将为后面勾股定理内容中计算最短路径的学习打下坚实的基础，同时也为中考常见题型中的最值问题如线段和最小问题的解决提供了基础和方法。本课以数学史上著名的“将军饮马问题”和“造桥选址问题”为载体开展对最短路径问题的课题学习研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称和平移等变换知识将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。二、教学目标与目标分析1、教学目标（1）知识与技能目标：能利用轴对称和平移等变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；（2）过程与方法目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想；（3）情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。2、目标分析教学目标达成的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河流”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，将两点在一线同侧问题转化为两点在一线异侧问题，化“折”为“直”感悟化归思想。三、教学重点与教学难点：1、教学重点：将实际问题转化为数学问题，能通过自主探究，利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；2、教学难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；如何通过逻辑推理证明所求路径最短。3、突出重点、突破难点的方法与策略：☆突出重点的方法：通过设置情境问题，引导学生思考、探究和讨论，在学生的自主探究过程中突出重点☆突破难点的方法：通过教师的启发引导，充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、探讨交流、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点。四、教学方法：根据本节课的教学内容、教学目标以及学生的认知特点和实际水平，教学上本节课采用“复习引入——创设情境——自主探究——合作交流——应用提高”的教学方法，并将学生分成几个小组，实行以个人自主探究、小组合作交流为主，教师适当引导为辅的教学模式。☆教师的教法：突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台，及时对学生个人和小组的学习进行评价；☆学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳，在自主探究、自主思考、合作交流中，掌握本节课的知识、方法和数学思想。五、教学过程：Part1：复习引入如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？图1图2图3学生回答：连接AB，与直线l交于点P，则点P为所求最短的泵站，如图3.教师活动：1、将图3板书到黑板上，为结尾归纳总结点明数学本质作铺垫；2、图3的板书引导学生在后面一系列的问题中回归到本题进行解答。前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题。现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用所学知识来探究数学史中著名的“将军饮马问题”。【设计意图】复习“两点之间，线段最短”，为后面的探究学习作好铺垫。Part2：探索新知——“将军饮马问题”相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图4中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？图4探索第一步（解决问题）教师：这是一个实际问题，我们首先将它转化成数学问题。师生活动：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，请学生画出数学图形（如图5），问题转化为“在直线l上找一点C，使得CA+CB最小．”请学生利用所学知识解决这个问题（如图6）.(可利用几何画板辅助说明点C存在的必然性)，并请学生上台板演，教师点评。图5图6Q1：有同学有其他的作法吗？师生活动：学生回答：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l相交于点C，则点C即为所求。Q2：两种方法所作出的点C是同一个点吗？师生活动：可请学生画图验证点C是同一个点。教师活动：教师在学生所画图形中任意找一点C’，连接AC’，C’B，提出质疑，Q3Q3：同学们说你们找出的点C是使AC+CB最小的点，那为什么老师找的点C’不是使AC+CB最小的点呢？你能想办法证明AC+CB最小吗？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C；则点C即为所求。【设计意图】让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。学生水平较高，对于此类问题较为轻松解决，学生解决问题后教师引导学生如何进行下一步的证明“最短路径”。探索第二步（证明）：师生活动：教师可用思维流程图对学生进行引导，也可请小组合作交流探讨，师生共同分析，先理清思路，后请学生补充证明过程，教师板书或多媒体展示，或者引导学生进行板书：证明：如图7，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短。图7教师活动：思维流程图的引导，如图8图8Q1：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？师生活动：学生小组内相互交流，教师适时点拨：若直线l上任意一个与点C不重合的点与A，B两点的距离之和都大于AC+BC，就说明AC+BC最短。【设计意图】1、让学生进一步体会作法的正确性，提高学生的逻辑思维能力。2、在证明过程中，再次运用和体会轴对称的“桥梁”作用，感悟化归思想。小结1：QQ11::解解决决上上述述问问题题运运用用了了什什么么知知识识和和方方法法？？①①两两点点之之间间，，线线段段最最短短（（三三角角形形两两边边之之和和大大于于第第三三边边））②②轴轴对对称称QQ22::解解决决上上述述问问题题体体现现了了什什么么数数学学思思想想？？数数学学思思想想：：转转化化（（化化归归））（（教教师师解解说说：：利利用用轴轴对对称称化化““折折””为为““直直””（（即即转转化化为为两两点点之之间间线线段段最最短短问问题题））））师师生生活活动动：：教师引导学生进行小结，学生回答，教师补充完善【设计意图】引导学生对前面将军饮马问题探索过程进行方法和思路的整理，理解并掌握将军饮马问题的数学本质，也为后面的拓展题目作好思维的铺垫。Part3：应用新知，解决问题1、如图9，△ABC中，E、N分别是AC、BC上的定点，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小．师生活动：学生自主分析，独立完成作图。请学生代表分析思路。其基本思路为：△ENF的周长为EN、EF与FN之和，而EN是固定长度的线段，问题就转化为EF与FN之和最小，即转化为两点在一条直线同侧求线段和最小的问题。作图如图10。图9图10【设计意图】将军饮马问题的简单应用，考查学生对两点在一条直线异侧时线段和最小问题的掌握情况。2、如图11，直线OA、OB相交于点O，P为定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使△PMN的周长最小．师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：过点P分别作关于直线OA、OB对称的点P’和P’’，连接P’P’’所成线段交OA、OB于点M、N，连接MN、PM、PN，则PM+MN+PN为所求的最短路线。如图12.图11图12【设计意图】将军饮马问题的变式一，让学生进一步巩固利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题。本问题小结为：一点在两条相交直线内部的情况。3、如图13，二中八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：过点C、D分别作关于直线OA、OB对称的点C’和D’，连接C’D’所成线段交OA、OB于点M、N，连接MN、CM、DN，则CM+MN+DN为所求的最短路线。如图14图13图14【设计意图】将军饮马问题的变式二，让学生进一步巩固利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题。本问题小结为：两点在两条相交直线内部的情况。Part4：拓展新知，解决问题1（变式三：造桥选址问题）如图15，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行直线，桥要与河垂直）图15探索第一步（解决问题）：这是著名的“造桥选址问题”。我们首先将实际问题转化为数学问题。师生活动：学生回答——河的两岸抽象为两条平行的直线a、b，将A.B两地抽象为A、B两点，将桥抽象为一条线段MN（如图16）。学生画图，小组代表展示，教师评价；教师完善学生回答：A、B两点在两条平行直线a、b的异侧，在直线a、b上找一条线段MN（MN与两平行直线垂直），使得AM+MN+NB的和最小（如图17）。几何画板辅助，帮助学生理解MN是不变的量，问题即转化为使AM+NB最小。图16图17师生活动：教师引导，学生独立思考，自主探究，学生画图分析，并尝试回答，互相补充。①思维分析：如图18假定任选位置造桥ＭＮ，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？利用“两点之间线段最短”解决问题时我们遇到了什么障碍呢？学生回答：桥的长度MN是固定的，AM+BN最短的时候，AM+MN+BN就最短；也有同学回答直接连接AB，产生错误的原因是没有意识到条件中桥要与河垂直；②思维火花：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？学生回答：各抒己见，把A平移到岸边、把B平移到岸边、把桥平移到和A相连、把桥平移到和B相连；或者通过折纸将MN两点重合；③合作交流：上述方法能做到使AM+MN+BN不变吗？请画图进行分析检验。学生回答：单独移动点A或点B，AM+MN+BN会改变，平移桥和点A或点B相连则不会改变；④问题解决：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图19所示，而MN是固定的，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．作法：(1)将点A沿垂直于河岸的方向平移一个河宽到A’，(2)连接A’B与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M；则MN为所建的桥的位置。图18师生活动：学生叙述，并请学生代表到黑板画图（图18），其余学生在自己的练习本上画图，教师进行评价。【设计意图】通过教师的引导，为学生探究问题搭建“脚手架”，利用轴对称和平移变换把问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择，渗透化归思想。探索第三步（证明）：师生活动：教师引导，小组合作交