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2005年秋季学期第2章薛定谔方程陈信义编目录§2.1薛定谔方程和力学量算符§2.2无限深方势阱中的粒子§2.4一维谐振子§2.3量子隧穿效应§2.1薛定谔方程和力学量算符1926年,在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文,在薛定谔讲完后,物理学家德拜(P.Debey)评论说:认真地讨论波动,必须有波动方程。几个星期后,薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说:你们要的波动方程,我找到了!这个方程,就是著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程,它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。同牛顿方程一样,薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到,而只能是一个基本的假设,其正确性也只能靠实验来检验。一、自由粒子薛定谔方程自由粒子波函数(一维)微商,得到方程),(),(txEttxi)(),(tExpixAetx),(),(2222txpxtxxEti2222xpx),(),(txpxtxixxpxi对波函数的运算、变换或操作。),(),(ˆtxxtxx),(txt),(*tx:算符代表用乘波函数xˆx:对波函数取复共轭:算符代表对波函数关于求导tt),(txx:算符代表对波函数关于求导xx算符是通过对波函数的作用关系来定义的例如算符(operator),Eti2222xpx,xpxi对于非相对论性自由粒子:mpEx22算符对应关系:2222xmti作用于波函数,得自由粒子薛定谔方程),(2),(222txxmtxti算符和力学量的对应关系:设粒子在势场U(x,t)中运动,能量关系为),(22txUmpE二、薛定谔方程算符对应关系:),(2222txUxmti作用于波函数,得薛定谔方程),(),(2),(222txtxUxmtxti三维:),(22222222trUzyxmti2222222zyx引入拉普拉斯算符:薛定谔方程:),(222trUmti若和是薛定谔方程的解,),(2tr),(1tr则也是薛定谔方程的解。),(),(2211trctrc是线性齐次微分方程,解满足态叠加原理方程中含有虚数i它的解是复函数,复数不能直接测量。而的模方代表概率密度,可测量。是量子力学的基本方程,描述非相对论性粒子波函数随时间演化规律。),(222trUmti三、力学量算符的引入量子力学假设:力学量用算符表达。;ˆ,ˆ,ˆzzyyxx1、坐标算符rrˆ)()(ˆxxxx其中Ψ代表任意波函数。坐标算符假定为2、动量算符xpxi算符和动量的对应关系:坐标算符假定为;ˆ,ˆ,ˆzipyipxipzyxipˆ【例】动量算符对自由粒子波函数的作用xpixAex)(xxixpx)()(ˆ粒子的动量作用结果:等于粒子的动量乘波函数。)(xpx自由粒子波函数是动量算符的“本征态”。描述的粒子的动量,结果一定等于动量。测量由自由粒子波函数xpixAex)(xp物理上的理解:动量是动量算符的“本征值”。3、哈密顿(Hamilton)量),(222trUm),(2ˆˆ2trUmpH若U不显含时间,则H称为能量算符。ˆHti用哈密顿量,薛定谔方程可写成势函数U不显含时间的情况很重要。这时,薛定谔方程可分离变量求解。哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化,外界对粒子的作用,包括不能用力来表达的微观相互作用,一般都可以用哈密顿量中的势函数U(x,t)来概括。而在经典力学中,改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。ˆHti只讨论势函数U与时间无关的情况。算符只是抽象的数学记号,其本身并不象经典力学中力学量那样代表物理量的取值。算符和相应力学量的取值之间,是通过本征方程联系起来的。四、力学量算符的本征方程力学量算符的本征方程,指下述类型方程FˆFˆ如果粒子处于本征态,则粒子的与对应的力学量的取值,一定等于本征值。Fˆ本征值本征波函数(态)Fˆ本征值的集合本征值谱;坐标算符的本征方程及其解xxˆ本征波函数的集合本征函数系。)()(ˆ000xxxxxx本征值谱:0x本征函数系:000),()(xxxxx{}如果粒子处于态,其坐标一定为。)(0xx0x(连续谱))()(ˆ000xpxpppx动量算符的本征方程及其解xipxˆ{}本征函数系:000,)(pAexxpip如果粒子处于态,其动量一定为。)(0xp0p本征值谱:0p(连续谱)哈密顿量的本征方程及其解)(2ˆˆ2xUmpHx给定U(x)的具体形式,求解微分方程;顾及本征波函数的自然条件。五、不含时薛定谔方程(能量本征方程))()](ˆ[)(d)(dtTrHrttTi)(ˆ)(1)(1d)(drHrtTttTi)()(),(tTrtr除以,得)()(tTr若势函数U不显含t,为求解薛定谔方程,设代入薛定谔方程,得=E(常数)上式可分为以下两个方程:)()(ˆrErH)(d)(dtETttTi-(1)-(2)方程(1)的解为EtiCetT)(方程(2):式中E具有能量量纲,C可以是复数。)()()(222rErrUm(简谐振动)或称能量本征方程。不含时薛定谔方程数学上:E不论取何值,方程都有解。物理上:E只有取一些特定值,方程的解才能满足波函数的条件(单值、有限、连续)。满足方程的特定的E值,称为能量本征值。)()()(222rErrUm定态:EtiEEertr)(),(能量取确定值的状态,薛定谔方程的特解。ΦE称为与E对应的本征波函数。若粒子处于ΦE,则粒子的能量为E。对于不同的势能函数和能量区间,能量本征值可以取一系列分立的值,也可以取连续值。为了讨论方便,下面假设它取分立值{En,n=1,2,3,…}相应的本征波函数为{Φn,n=1,2,3,…}薛定谔方程的一系列定态解为通解可写成定态解叠加的形式,3,2,1,)(),(nextxtEinnntEinnnnnnnexCtxCtx)(),(),(式中Cn称为展开系数。tEinnnnexCtx)(),(后面证明,给定初始时刻的状态Ψ(x,0),Cn可按下式计算若势函数不显含时间,则薛定谔方程的求解,可通过解能量本征方程(不含时薛定谔方程)来解决。xxxCnnd)0,()(*因此,能量本征方程的求解,在量子力学中占有重要地位。)()()(dd2222xExxUxm0)()(2)(2xxUEmx改写成一类是本征值问题,给定势能函数U(x),求粒子的能量E和相应的本征波函数Φn(x);求解两类问题:另一类是散射问题,假设粒子以能量E射向势垒U(x),计算粒子穿透势垒的概率。§2.2无限深方势阱中的粒子U=0EU→∞U→∞U(x)x0无限深方势阱a0E,为什么?0202,2mpEapaxaxxaxxU,0,0,0)(a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x0a能量本征方程:解方程,求出能量本征值谱、本征波函数集合。,3,2,1,nEn,3,2,1,nn无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成tEinnnnexCtx)(),(xxxCnnd)0,()(*为给定的初始时刻的状态。)0,(x0)()(2)(2xxUEmx0,)(xU0)(xUax00,0)()(2)(2ExxUEmx一、势阱中粒子的能量0,0)(2)(2ExmEx222mEk令,方程写成0)()(2xkx粒子被束缚在势阱内0)(limxx(束缚态)1、阱外2、阱内axx,00dd222kx通解:kxBkxAxcossin)(“单值、有限”已经满足,下面看连续条件。3、用连续条件定特解A,B为待定常数,由波函数应满足的“单值、有限、连续”条件决定。0sin)(kaAakxAxsin)(0x0)0(0Bax0A0sinkak取特定值222mEkE取特定值ank,3,2,1,n2222222nmamkEn,3,2,1,n0sinka一维无限深势阱能量的本征值:【思考】为什么不取?,2,1,0n其中n称为量子数,n=1代表基态,取其它值代表激发态。这表明,一维无限深方势阱中运动粒子的能量是量子化的。能量本征值也称为能级,在一定条件下粒子的状态可以从一个能级变化到另一个能级,这种变化叫跃迁(transition)。最低能量(基态能量)—零点能能级间隔022221maE222211)12(2ΔmanmaEEEnnnnnnnnEEnn12112Δ2,nEmaΔnnEEnΔ宏观情况或量子数很大时,可认为能量连续。二、势阱中粒子的波函数axnAxnsin)(12sin)(202220AadxaxnAdxxaanaA2,,3,2,1,0,00,sin2)(naxxaxaxnaxntnEinnextx)(),(定态:势阱中粒子的概率密度势阱中粒子的德布罗意波nnnhpmEp2nan2能量为En的定态Ψn,对应波长为λn的德布罗意波的驻波。222)()(),(xextxntEinnn在定态Ψn(x,t)或能量本征态Φn(x)上测量粒子的能量,结果一定是能量本征值En。n很大时,势阱内粒子概率分布趋于均匀量子经典|2n|En2a2a|2n|束缚态(boundstate)E1E2E3E4Ennan2,11,22an32,33an2,44an,nnan20x2a2a势阱内粒子概率分布与经典情况不同玻尔对应原理任何满足适当边界条件和连续性要求的波函数,均可用这个函数系作展开三、能量本征函数系是正交、归一的完备集合nmnmxxxnmnm,1,0)()(,*d正交、归一化条件(自己验证):完备性:tEinnnnexCtx)(),(xxxCnnd)0,()(*展开系数按下式计算(付氏级数)证明:xxxnd)0,()(*mnmmC,tEinnnnexCtx)(),()()0,(xCxnnnxxxCmnmmd)()(*nCxxxCnnd)0,()(*平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。例如,原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。§2.3一维简谐振子0)]([2dd222xUEmx2221)(xmxU选平衡位置为坐标原点和势能零点,简谐振子能量本征方程为0)(limxx本征态是束缚态:)(lim,xUx1、简谐振子的能量)21()21(hnnEn
本文标题:大学物理量子物理2薛定谔方程
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