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第二十七章薛定谔方程量子围栏§27.1薛定谔方程§27.2无限深方势阱中的粒子§27.3势垒穿透§27.4一维谐振子*§27.5力学量算符第二十七章薛定谔方程§27.1薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程,在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。和牛顿方程一样,薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到,是量子力学的一个基本的假设,其正确性也只能靠实验来检验。薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。一.薛定谔方程(1926)),(),(2),(222txΨtxUxmtxΨti⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂−=∂∂hh),(222ΨtrUmtΨi⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇−=∂∂rhhm—粒子的质量U—粒子在外力场中的势能函数—拉普拉斯算符2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂≡∇1维:▲薛定谔方程是线性的,满足解的叠加原理。▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”,是非相对论形式的方程。若和是方程的解,),(1trΨ▲薛定谔方程关于时间是一阶的,经典波动方程关于时间是二阶的。r),(2trΨr则也是方程的解。),(),(2211trΨctrΨcrr+▲方程含有虚数i,其解是复函数,不可测量,是概率密度,可测量。Ψ2||Ψ二.哈密顿量),(2ˆ22trUmHrh+∇−=—哈密顿算符经典力学:改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。量子力学:哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化,即决定了粒子的运动状态。势函数:一般可以概括外界对粒子的作用,包括不能用力来表达的微观相互作用。),(trUr若势函数U不显含时间,则哈密顿算符称为能量算符。ˆHˆΨHtΨi=∂∂h用哈密顿算符,薛定谔方程可写成:势函数U不显含时间的情况很重要。这时薛定谔方程可通过分离变量求解。)()](ˆ[)(d)(dtTrΦHrΦttTirrh=)()(),(tTrΦtrΨ⋅=rr如果势函数U不显含t,则可设:代入薛定谔方程得:两边除以得:)()(tTrΦ上式可分为下面两个方程:=E(常数)令三.定态薛定谔方程—能量本征方程⋅r)(ˆ)(1)(1d)(drΦHrΦtTttTirrh=方程(1)的解:EtiCetTh−=)(方程(2)就是定态薛定谔方程:E具有能量量纲,C可以是复数。)()()(222rEΦrΦrUmrrrh=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∇−(振动因子)(1)—能量本征方程)(d)(dtETttTi=h(2))()(ˆrEΦrΦHrr=数学上:E不论取何值,方程都有解。物理上:E只有取某些特定值,方程的解才能满足波函数条件:单值、有限、连续。▲满足方程的特定的E值称为能量本征值。)()()(222rEΦrΦrUmrrrh=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∇−▲ΦE称为与E对应的本征波函数。物理含义:若粒子处于ΦE态,则粒子的能量为E。为讨论方便,设E取分立值(分立谱):{En,n=1,2,3,…}相应的本征波函数为{Φn,n=1,2,3,…}▲定态:能量取确定值的状态,是薛定谔方程的特解:)(),(EtiEEerΦtrΨhrr−=对不同的势函数和能量区间,能量本征值E可能取分立的值,也可能取连续值。▲薛定谔方程的通解与定态解的关系薛定谔方程的通解是各定态解的线性叠加:)(),(),(tEinnnnnnnexΦCtxΨCtxΨh−∑∑==对分立谱,薛定谔方程的一系列定态解为:...,3,2,1,)(),(==−nexΦtxΨtEinnnh(Cn是任意复常数)在很多问题中势函数不显含时间,薛定谔方程的求解可通过解能量本征方程—定态薛定谔方程来解决。因此,能量本征方程的求解,在量子力学中占有重要地位。)()()(dd2222xEΦxΦxUxm=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−h一维定态薛定谔方程:定态薛定谔方程的意义▲本征值问题:给定势能函数U(x),求能量本征值En和能量本征波函数Φn(x)。后面通过求解一维定态薛定谔方程来讨论两类问题:▲散射问题:粒子的能量E确定,射向势垒U(x),计算粒子穿透势垒的概率。[]0)()(2)(2=−+′′xΦxUEmxΦh一维定态薛定谔方程常用形式:薛定谔(1887−1961)ErwinSchrodinger•奥地利人•1933年诺贝尔物理学奖获得者•量子力学的创立一.一维无限深方势阱模型极限理想化U(x)U=U0U=U0EU=0x0§27.2无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U=0EU→∞U(x)x0U→∞-a/2a/2二.定态解01=Φ∞=)(xU0)(=xU02dd22222=+ΦmExΦh[]0)()(2)(2=−+′′xΦxUEmxΦh|x|a/2区间:|x|≤a/2区间:无限深方势阱U=0EU→∞U(x)x0U→∞-a/2a/2(先设E0,后面解释)0dd22222=+∴ΦkxΦ222kmE=h令通解:)sin()(2ϕ+=kxAxΦ利用下面的条件(不一定全用):•波函数条件:单值、有限、连续;•波函数满足的物理条件。确定常数A、k、ϕ,定出能量本征值和本征波函数,是求解定态常规手法。连续条件:0)2()2(12=±==±=⇒axΦaxΦπ2π,221lkalka=+−=+⇒ϕϕ(l1,l2=整数)πnka=⇒0)2sin(,0)2sin(=+−=+⇒ϕϕkaAkaA整个波函数在势阱边界处连续πank=⇒(n=整数)π2l=⇒ϕ2πl=⇒ϕ(l=整数)1.能量本征值从能量意义看应有E≥0,但E=0可能吗?当粒子运动范围受到限制时(在势阱中),根据不确定关系,动量的不确定度Δp≠0,所以动量p002=⇒hmEk⇒E0...21,π,,==∴nank...)3,2,1,(2π2222==nnmaEnh222kmE=h由得:结论:束缚在势阱中的粒子的能量只能取分立值En—能量量子化,每个能量值对应一个能级,En称为能量本征值,n称为量子数。最低能量—零点能02π2221=maEh零点能是量子力学特有结果,经典力学中没有。根源是波粒二象性,不确定关系。能级间隔222211)12(2πΔmanmaEEEnnn∝+=−=+h212ΔnnEEnn+=0Δ,→∞→⇒nnEEn大量子数情形,能量趋向连续。2.能量本征函数2πl=ϕ(l=整数)•l=0,ϕ=0,)sin()(2ϕ+=kxAxΦnΦxanAΦo2πsin==奇函数...)21(π,,==nank•l=1,ϕ=π/2,nΦxanAΦe2πcos==偶函数•l=其它值,Φ2差正负号,|Φ2|2不变,舍去0)2πsin(=±⋅aanA由得:0)2(o=±=axΦn所以对Φon,n=2,4,6,…同理对Φen,n=1,3,5,…...)642(πsino,,,==nxanAΦn...)531(πcose,,,==nxanAΦn归一化:1d||2/2/2o=∫−xΦaanaA2=⇒1dπsin2/2/22=∫−xxanAaa能量本征函数202...)531(πcos2...)642(πsin2eoaxΦaxnxanaΦnxanaΦnn=≤⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====,,,,,,3.定态tEinnnexΦtxΨh−⋅=)(),(定态概率密度22|)(||),(|xΦtxΨnn=Φn—驻波解3=nn2=n1=nx0-a/2a/2|Φn|2E1E2E3En束缚态概率分布和经典不同n很大时,阱内粒子概率分布趋于均匀玻尔对应原理:大量子数极限下,量子体系行为向经典过渡。En|Φn|2-a/2a/2§27.3势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧≤=)0(,)0(,0)(0xUxxU金属与半导体接触处,势能隆起形成势垒。势垒的物理模型:xII区0I区U0U(x)1.一维势垒模型粒子从x=-∞处以特定能量E(EU0)入射,xII区0I区U0U(x)2.问题经典图像:粒子无法跃上台阶,只能反射。量子图像:粒子具有波动性,波不仅被反射,而且能透射进入势垒区,只要U0有限。能进来吗?能进来!E入射反射透射3.定态薛定谔方程I区(x≤0):0221=hmEkII区(x0):xII区0I区EU0U(x)0)()(22202−=kUEmikh0)(2222=+′′ψψik01211=+′′ψψk[]0)()(2)(2=−+′′xΦxUEmxΦhxEUmCe)(210−−=hxikxikBeAex11)(1−+=ψxkCex2)(2−=ψ入射波反射波透射波4.通解当x→∞时,ψ2(x)应有限,∴D=0。xikxikBeAex11)(1−+=ψxkxkDeCex22)(2+=−ψEU0ψ2透射ψ1入射+反射xII区I区0(波动型解)(指数型解)粒子可出现在势垒区!5.势垒区的概率密度)(22220)(EUmxex−−∝hψ势垒增高或透入深度增加,透入概率下降。经典:粒子不能进入EU区域(动能0)量子:粒子有一定的概率进入势垒区物理现象:电子可逸出金属表面,在金属表面形成一层电子气。二.有限宽势垒和量子隧道效应xmEiSexh23)(=ψEψ1ψ20aU0xI区II区III区ψ3波可以穿过有限宽势垒,以平面波形式继续前进,称为量子隧穿或量子隧道效应。隧道效应穿透系数T—穿透势垒的概率当U0−E=5eV、垒宽a~50nm时,穿透系数~0,量子隧道效应可忽略,粒子行为可用经典理论描述。)1)(2(||0)(2220−∝=−−EUmaeSTEUmahh⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−+=])(2[sh)1(11||02200EUmaSUEUEh垒宽或垒高增大穿透概率下降。量子经典三.量子隧道效应的应用隧道二极管,金属场致发射,核的α衰变…1.核的α衰变α粒子通过隧道效应克服势垒从核出来。对不同的核,算出的衰变概率和实验一致。r238U→234Th+4HeRU35MeV4.25MeVα0核力势能库仑势能Eα=4.25MeV1986年诺贝尔物理学奖,宾尼、罗赫尔发明STM,鲁斯卡发明电镜2.扫描隧道显微镜(STM)应用:观测物质表面的微观结构原理:利用量子隧道效应罗赫尔(Rohrer)鲁斯卡(E.Ruska)宾尼(G.Binning)U0U0U0dCUeiφ−∝C—常量φ—样品表面平均势垒高度(~eV)d~1nm(10Å)d变→i变,反映表面情况ABdE隧道电流iABUd探针样品电子云重叠【TV】扫描隧道显微镜CO在Pt(111)表面Si(111)表面重构STM成像Xe在Ni(110)表面表面原子操纵|ψ|2经典谐振子能量取值连续,用这种模型无法正确解释黑体辐射、低温下晶体比热等问题选谐振子平衡位置为坐标原点和势能零点:mk=ωm—粒子质量,k—等效劲度系数2222121)(xmkxxUω==§27.4一维谐振子1.势能—谐振子能量必需量子化。2.定态薛定谔方程0)21(2dd22222=−+ψωψxmEmxh3.能量本征值...)2,1,0()21()21(=+=+=nhnnEnνωh...,25,23,21210νννhEhEhE===求解定态薛定谔方程得:能级特点:•等间距:ΔE=hν•零点能:E0=hν/2,符合不确定关系。所以室温下分子可视为刚性。•n→∞,ΔE/En→0,量子化→连续对宏观振子能量,n∼1025,符合对应原理。分子振动ΔE~10-2−10-1eVkT(室温))()()!π2()(222121hωαααψαmexHnnxxnn==−4.能量本征函数Hn是厄密(Hermite)多项式:22212/10)π()(xexααψ−=22212/11)(2)π2()(xexxαααψ−⋅=222122/12])(42[)π8()(xexxαααψ−−=5.定态概率密度2ψn=2x1ψn=1x0ψn=0xn=1x21||ψ20||ψn=0xn=2x22||ψ211|)(|xψ11=nxn=11时的概率密度分布:经典弹簧振子在平衡位置处v最大,在该处单位区间停留的时间最短,出现的概率最小;在振幅最大处v为零,出现概率最大。虚线是经典结果•在EU区仍有概率出现—隧道效应xn很大EnE1E2E00U(x)20||ψ21||ψ22||ψ2||nψ•n→∞时,量子概率分布→经典概率分布以位
本文标题:量子物理.第27章.薛定谔方程
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