(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案

第1页，共15页等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题1.数列{an}满足a1=a2=1，，若数列{an}的前n项和为Sn，则S2013的值为（）A.2013B.671C.-671D.2.已知数列{an}满足递推关系：an+1=，a1=，则a2017=（）A.B.C.D.3.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（）A.2B.3C.2017D.30334.已知正项数列{an}满足，若a1=1，则a10=（）A.27B.28C.26D.295.若数列{an}满足：a1=2，an+1=，则a7等于（）A.2B.C.-1D.20186.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6=a3+6，则S7=（）A.49B.42C.35D.287.等差数列{an}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（）A.10B.15C.20D.408.已知数列{an}的前n项和，若它的第k项满足2＜ak＜5，则k=（）A.2B.3C.4D.5第2页，共15页9.在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a10，则k=（）A.45B.46C.47D.4810.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A.66B.55C.44D.33二、填空题1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则该数列的通项公式an=______．2.正项数列{an}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么an=______．3.若数列{an}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an，则a3=______；数列{an}前10项的和S10=______．4.数列{an}中，已知a1=1，若，则an=______，若，则an=______．5.已知数列{an}满足a1=-1，an+1=an+，n∈N*，则通项公式an=______．6.数列{an}满足a1=5，-=5（n∈N+），则an=______．7.等差数列{an}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{an}前9项的和S9等于______．第3页，共15页三、解答题1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且=1（n∈N+）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列{an}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差d；（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为Sn，求Sn的最大值；（Ⅲ）当Sn是正数时，求n的最大值．第4页，共15页3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn．4.已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，；当an为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{an}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{an}的前n项和为Sn，求证：.第5页，共15页等差、等比数列基础练习题答案【答案】(选择题解析在后面)1.D2.C3.A4.B5.A6.B7.B8.C9.B10.D12.2n13.14.-6；-11015.2n-1；2n-116.-17.18.8119.解：（1）当n=1，a1=，当n＞1，Sn+an=1，Sn-1+an-1=1，∴an-an-1=0，即an=an-1，数列{an}为等比数列，公比为，首项为，∴an=．（2）Sn=1-an=1-（）n，∴bn=n，∴==-，∴=1-+-+…+-=1-=．20.解：（Ⅰ）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；（Ⅱ）=，因为n∈N*，所以当n=6时Sn有最大值为78；（Ⅲ）由，解得0＜n＜．因为n∈N*，所以n的最大值为12．21.解：（Ⅰ）列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2①．则：Sn+1=2an+1-2②，第6页，共15页②-①得：an+1=2an，即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2-…-2，=2n+2-4-2n．22.解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{an}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，第7页，共15页故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；∴a1的值为-3，-1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则ak是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，am+2=0，…故当n≤m时，an＞0；当n≥m+1时，an=0．…（15分）故对于给定的m，Sn的最大值为a1+a2+…+am=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+…+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+…+21）-m-3=2m+1-m-5，故．…（18分）第8页，共15页【解析】1.解：∵数列{an}满足a1=a2=1，，∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2a3n-2+a3n-1+a3n=cos=cos（2nπ-）=cos（-）=cos=-cos=-，∵2013÷3=671，即S2013正好是前671组的和，∴S2013=-×671=-．故选D．由数列{an}满足a1=a2=1，，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2.解：∵an+1=，a1=，∴-=1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+2016=2018．则a2017=．故选：C．an+1=，a1=，可得-=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.解：∵Sn=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2×2016+1=2第9页，共15页故选：A由a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4.解：∵，∴an+12-2anan+1+an2=9，∴（an+1-an）2=9，∴an+1-an=3，或an+1-an=-3，∵{an}是正项数列，a1=1，∴an+1-an=3，即{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选B．由递推式化简即可得出{an}是公差为3的等差数列，从而得出a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5.解：数列{an}满足：a1=2，an+1=，则a2==，a3==-1a4==2a5==，a6==-1．a7==2．故选：A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6.解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数第10页，共15页列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．7.解：∵a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选：B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键．8.解：已知数列{an}的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴an=Sn-Sn-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1满足an，∴an=2n-4，∵它的第k项满足2＜ak＜5，即2＜2k-4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，∴k=4，故选C；先利用公式an=求出an=，再由第k项满足4＜ak＜7，建立不等式，求出k的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用，属于基础题．第11页，共15页9.解：∵ak=a1+a2+a3+…+a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选B由已知ak=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10.解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.解：由Sn=n2+n，得a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n．当n=1时上式成立，∴an=2n．故答案为：2n．第12页，共15页由数列的前n项和求得首项，再由an=Sn-Sn-1（n≥2）求得an，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．13.解：由=（n∈N*），可得a2n+1=an•an+2，∴数列{an}为等比数列，∵a1=1，a2=，∴q=，∴an=，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=an•an+2，即可得到数列{an}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14.解：∵对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an，∴取m=1，则an+1-an=a1=-2，∴数列{an}是等差数列，首项为-2，公差为-2，∴an=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列{an}前10项的和S10==-110．故答案分别为：-6；-110．对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1-an=a1=-2，可得数列{an}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第13页，共15页15.解：在数列{an}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴an=1+2（n-1）=2n-1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n-1；2n-1．由已知递推式an-an-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16.解：由题意，an+1-an=-，利用叠加法可得an-a1=1-=，∵a1=-1，∴an=-，故答案为-．由题意，an+1-an=-，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17.解：数列{an}满足a