含参不等式恒成立问题求解策略

含参不等式恒成立问题的四大策略山东省平度第一中学宋同海联系电话:[phone]邮箱:[e-mail]以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法策略一：分离参变量，构造函数求最值分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）axf)(恒成立min)(xfa（2）axf)(恒成立max)(xfa典例１．函数),1[,2)(2xxaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解析：若对任意),1[x，0)(xf恒成立，即对),1[x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母),1[x，只需022axx在),1[x时恒成立，即xxa22在),1[x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)(2在),1[上的最大值为3，所以3a。策略二：变更主元、主参换位转化为一次函数问题习惯上，我们常把x看做自变量，其余的字母看做参数。在解含参数的不等式时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。应用此方法时要分清谁是变量，谁是参数。一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数。通常会用到如下性质：对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立典例２．求使不等式2-69-30xaxa（），a１恒成立的x的取值范围。解析：将原不等式整理为形式上是关于ａ的不等式23690xaxx，令()fa＝2369xaxx，因为()fa0在a１时恒成立，所以（１）若3x，则()0fa不符合题意，应舍去。（２）若3x，则由一次函数的单调性(1)0(1)0ff，即227120,24.560xxxxxx解得或策略三：转化为两个函数图像之间的关系，数形结合求参数若不等式两边的图像容易画出时，恒成立的代数问题立即变得直观化，数形结合可使解题过程简单、快捷。数形结合法通常用到如下性质：（1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；（2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。典例３.当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。解析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。设T1:()fx=2(1)x,T2:()logagxx,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),()fx()gx恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a1,并且必须也只需(2)(2)gf故loga21,a1,1a2.策略四：联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题典例4.0+9310xxxmm已知，时，不等式恒成立，则m的取值范围是：A.222222mB.2mC.222mD.222mxyo12y1=(x-1)2y2=logax223(1),1t(1,)0=(-m)4(1)00m12222(1)110xttmtmxmmCfmm解析：令则由已知得函数f(t)=t的图像在上恒在轴的上方，则对于方程f(t)=有或解得，答案易错提示：本题利用换元法简化了运算，但需要注意换元后自变量的取值范围。结论：上述例子剖析了含参不等式恒成立问题的四种策略，值得一提的是，它们之间并不是彼此孤立的，结合起来使用会使问题变得简单，思路变得灵活。