大学物理13.3-波函数-薛定谔方程

13.3波函数薛定谔方程13.3.1波函数13.3.2薛定谔方程13.3.3一维无限深方势阱中运动的粒子13.3.5例题分析13.3.4氢原子的薛定谔方程13.3.1波函数微观粒子具有波动性，与微观粒子相联系的波称为物质波，波函数就是物质波的数学表达式.假设有一个动量为P、能量为E的自由粒子，按德布罗意假设，它相当于一列沿它的运动方向传播的单色平面波，其波长和频率分别为PhhE若取平面波传播的方向为x轴正方向，则由波动理论可知，平面波的波动方程为xtAy2cosxtiAey2xtietx20),(PxEtietx0),(若自由粒子的物质波沿空间任意方向传播，则其波函数的表达式为zPyPxPEtizyxetzyx0),,,(若考虑空间一个小微元，则在内波函数可视为不变.因为粒子在内出现的几率正比与该处物质波的强度，即正比与.若用表示粒子出现在中的几率，dVdVdV2dVdpdVdp2则dV2dVdp所以某点处单位体积内粒子出现的几率，即粒子的几率密度为于是自由粒子在空间某处出现的几率密度为20dVdp),,,(tzyx波函数必须满足的条件：标准化条件：波函数的归一化条件：12dV注意：物质波的波函数不同于机械波的波函数y，y是表示振动位移的物理量，而本身没有什么直观的物理意义，只是通过才间接地反应出粒子出现的几率.2单值、有限、连续13.3.2薛定谔方程薛定谔推广了德布罗意物质波的概念，于1926年提出了波动力学，并建立了一个量子体系的物质波运动方程.因此而获1933年诺贝尔奖.薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子光谱等一系列重大问题.波动力学与矩阵力学是完全等价的，是同一种力学规律的两种不同表述，而且它们都属于非相对论性的量子力学.下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定力场中的运动，由于这种问题中势能函数V和粒子能量E与时间无关，这时粒子处于定态，则粒子的定态波函数可以写成Etiezyxtzyx),,(),,,(可以看出，粒子处于定态时，它在空间各点出现的几率密度与时间无关，即几率密度在空间形成稳定分布.此时定态波函数的空间部分称为定态波函数.),,(zyx在非相对论情况下，所满足的薛定谔方程称为定态薛定谔方程.),,(zyx0),,()(2),,(2222222zyxVEmzyxzyx若粒子在一维空间运动，则0)()(2)(222xVEmxdxd1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电子的波动性，支持了薛定谔波动力学.13.3.3一维无限深方势阱中运动的粒子假设粒子只能沿x轴作一维运动，且势能函数具有如下形式axxxVaxxV和0)(00)()(xVxoa由于与时间无关，因此在势阱中运动的粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程求解.)(xV在区域内，，具有有限能量的粒子不可能出现.axx和0)(xV0)(x因此在区域内，因此有ax0.0)(xV0)(2)(222xmEdxxd22mEk令0)()(222xkdxxd则)sin()(kxAx解之可得由于波函数连续，所以0)(0)0(a0)sin(0sinka,3,2,10nnka22mEk,3,2,122222nmanEnandxx02)(adxxanA022sin1aA221aA2,3,2,1sin2)(nxanaxn于是综上所述，粒子在一维无限方势阱内运动时，其波函数为,3,2,1sin2)(:00)(:0nxanaxaxxaxxn和与能量E所对应的粒子在势阱中的几率密度为xanaxn22sin2)()(x0ax1n2n3n4n0xa1n2n3n4n2)(x13.3.4氢原子的薛定谔方程对于氢原子而言:reV0240),,(42),,(222022222222zyxzyxeEmzyxzyx222024zyxe,3,2,1822204nnhmeEn13.3.5例题分析已知一维运动的粒子的波函数为000)(xxAxexBx式中B为正的常数，试求：（1）归一化常数A和归一化波函数；（2）该粒子位置坐标的概率分布函数（即概率密度）；（3）在何处找到粒子的概率最大？解（1）1)(2dxx因为10022202dxexAdxBx即10222dxexABx亦即1432BA所以归一化波函数为BBA20002)(xxxeBBxBx（2）粒子的概率分布函数为0004)(2232xxexBxBx0)(2xdxd令(3)02242223BxBxeBxxeB则所以，，时，概率密度有极值.0xx2)(xBx1而只有二阶导数0)(1222Bxxdxd所以在处，概率密度有最大值，即粒子在该位置处出现的概率最大.Bx1