2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题及评分标准

12011年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题及评分标准一、填空题（每小题10分，共80分）1.已知()fx为整式函数且满足3(1)(1)42fxfxxx++−=−，则()fx=．2．当01a时，不等式组2log||log,33cos0aaxxππ⎧−⎪⎨⎪≥⎩的解为．3．O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知||,||OFaPQb==，则△OPQ的面积为．4．已知直线l与平面α成45°角，直线mα⊂，若直线l在α内的射影与直线m也成45°角，则直线l与m所成的角为．5．设320()313778Pxxxx=+−−，对整数1n≥定义1()()nnPxPxn−=−，则20()Px中项的系数为．6．已知复数1z和2z满足2221122||4,420zzzzz=−+=,则212|(1)(2)|zz+−的最大值为．7．已知数列｛na｝中首项115132,37nnnaaaa+−==−,则2011a=．8．在△ABC中2B=A+C，且AC,tanAtanB=2+3，又知角C对边上的高为43,则三角形三边之和为．二、解答题（本大题共4个小题，共70分）9．（l5分）在椭圆2244xyx+=上，求使22zxy=−取得最大值和最小值的点P的坐标．10．（15分）如图，AB,AC是圆O的两条割线，分别交圆O于另两点E,D．又M,N分别是EB,DC的中点．(l)求证A,M,O,N四点共圆；(2)求∠AMN+∠OAC的值．11．（20分）由数字1、2、3、4、5、6、7组成七位数，使四个奇数中任何三个不都相邻，问符合条件的七位数共有多少个．12．（20分）已知n个任意的正方形纸片（1,nnN∈)，证明：可以用剪刀把它们剪开，然后组拼成一个新的正方形．解答1．3()27fxxx=−．提示：设32()fxaxbxcxd=+++,则3232(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxfxaxbxcxdaxbxcxd++−=+++++++−+−+−[phone]axbxacxbd=+++++342xx=−，所以24,2,20,0,622,7,220,0.aabbaccbdd==⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⇒⎨⎨+=−=−⎪⎪⎪⎪+==⎩⎩则3()27fxxx=−．22．.3332xxππππ−≤或提示：当01a时，原不等式组20||,33cos0xxππ⎧−⎪⇔⎨⎪≥⎩2,333322,.22xxkxkkZππππππππ⎧−⎪⎪⇔⎨⎪−≤≤−∈⎪⎩或.3332xxππππ−≤或3．aab．提示：设抛物线方程为22ypx=．||,22pOFapa===．故抛物线方程为24yax=．①设过F的直线方程为()ykxa=−，②由①②消去x得22440kyayak−−=．设1122(,),(,)PxyQxy，则212124,4ayyyyak+==−．2222121212216()()416ayyyyyyak−=+−=+，所以1222221111||1||1414(1)bPQyyaakkkk==+⋅−=+⋅+=+，2114bka+=，所以1221||41424byyaaabka−=+==．1211||||222OPQSOFyyaabaabΔ=⋅⋅−=⋅⋅=．（当k不存在时也成立）4．60D．提示：作AO⊥α于O,Al∈，连OB，则∠ABO=45D．在α内作BC与OB成45D角，则BC||m,作OC⊥BC于C，连AC，则AC⊥BC.设OA=OB=1，则AB=2，OC=CB=22,所以212cos22CBABCaB∠===，故60ABC∠=D．5．763．提示：20191817()(20)(2019)(201918)PxPxPxPx=−=−−=−−−00(20191821)(210)PxPx==−−−−−−=−32(210)313(210)77(210)8xxx=−+−−−−．其x项的系数为23210313231077763×−××−=．已知复数1z和2z满足2221122||4,420zzzzz=−+=,则212|(1)(2)|zz+−6．66．提示：由已知22121()3zzz−=−，则1213zziz−=±，21(13)zzi=±，所以21||||2zz=⋅，因为2||4z=，所以1||2z=.设12(cossin)ziθθ=+.3221212|(1)(2)||1||2|Mzzzz=+−=+⋅−2222[(2cos1)(2sin)](2cos2)(2sin)θθθθ=++⋅−+2(54cos)(88cos)θθ=+−3(54cos)(54cos)(88cos)()3θθθ++++−≤66=．当且仅当54cos88cosθθ+=−，即1cos4θ=时，M取到最大值66．7．2．提示：1215131373753nnnnnaaaaa+++−−==−−,13151313713737513535337nnnnnnnnaaaaaaaa+++−−⋅−−===−−−⋅−．所以20113670112aaa×+===．8．464312++．提示：因为,2ABCBACπ++==+,所以2,33BACππ=+=．又tantantan(),tantan231tantanACACACAC++==+−，所以tantan3,tantan3313ACAC+−=+=+−．又AC，所以tan1,tan23,AC=⎧⎪⎨=+⎪⎩5,412ACππ==．434346,8sin45sin60ba====DD，43cot4543cot60434c=+=+DD．464312abc++=++．9．设(,)Pxy为椭圆2244xyx+=上一点，则221(4)4yxx=−，代入22zxy=−，得2221521(4)()4455zxxxx=−−=−−．因为(,)Pxy是2244xyx+=上的点，所以22440xxy−=≥，04x≤≤．故2,535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩时，z有最小值15−，此时23(,)55P±；当4,0xy=⎧⎨=⎩时，z有最大值16，此时(4,0)P．10．（1）连接AO,OM,ON,MN,因为M,N分别是EB，DC的中点，所以∠AMO=∠ANO=90°．故四边形AMON是AO为直径的圆内接四边形．所以A,M,O,N四点共圆．(2)由A,M,O,N四点共圆知∠OAN=∠OMN，4所以∠AMN+∠OAN=∠AMN+∠OMN=∠OMA=90°．11．从所有可能的七位数77A中减去下面两类七位数的个数．(l)四个奇数都相邻的七位数，先将四个奇数看成一组与其余三个偶数排好，有44A种方法；再将这四个奇数进行排列，有44A种方法，此类七位数共有44A·44A个．(2)只有三个奇数相邻，先将偶数排好有33A种方法，再将四个奇数分成三个，一个的两组，有14C种方法，然后将这两组奇数插入偶数的四个空档中，有24A种方法，此类七位数共有33A·14C·24A·33A个．综上，符合条件的七位数共有77A-44A·44A-33A·14C·24A·33A=5040-（576+1728)=2736（个）．(1)当2n=时，设两个正方形A1B1C1D1和A2B2C2D2的边长为a和b,（ab≥）在正方形A1B1C1D1的各边上，顺序截取A1M,B1N,C1P,D1Q，使A1M=B1N=C1P=D1Q=2ab+．连MP,NQ交于O，易知MP⊥NQ．沿线段MP，NQ把正方形A1B1C1D1剪开，得到四个全等部分．把这四块与正方形A2B2C2D2相拼成一个新的正方形．因此，2n=时命题成立．(2)假设nk=时，命题成立，当1nk=+时，前k个正方形可拼成一个新正方形．把这个正方形按上法剪开，截取的线段上是这个新的正方形的边长和第1k+个正方形边长和的一半．然后和第1k+个正方形如上法拼组成第1k+个新的正方形，至此说明当1nk=+时命题成立．综合（1）,(2)，对1,nnN∈命题成立．