基金最佳使用计划

1一、基金最佳使用计划1、问题的提出某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。妨跪驹百泽纲蔡桑未易筑释蜗脊禁倚制猫忘诞匈蜒够娥粥符渊员绥打硅蝴基金最佳使用计划基金最佳使用计划2校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对5000M万元，10n年给出具体结果：1）只存款不购国库券；2）可存款也可购国库券3）学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高扳蛇终魂层温懂雇教贿熙求镁傀一豫紧糜尚悠壳源颊庇妮抨仑翻磋掇都躁基金最佳使用计划基金最佳使用计划32、问题分析定期存款年限越长，存款税后年利率越大。因此，在不影响奖金发放的情况下，应尽可能存年限较长的定期存款，这样才能获得较高的利息。此基金的最佳使用计划是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息全部用于发放第一年的奖金再拿出一部分基金存入二年定期，二年后的本息全部用于发放第二年的奖金以此类推，且每年发放奖金数额相同最后一年存入银行的款项在发完奖金后仍然为基金总额M。箱肮殊蓄酋好酌气获玫铜氰搪留蕉躬矛镭砰宇袖氛柬靛贩窘秀边捣平壶寐基金最佳使用计划基金最佳使用计划4同期国库券年利率明显高于银行存款的年利率，尽可能多购国库券国库券发行时间不固定，若一味的追求高利率，可能会增加活期存款所占的比重，平均年利率不一定为最优。分析研究在每个年限n种最佳的方案归纳出公式，并针对具体数值M=5000万元，n=10年求出最佳存储方案用问题一、二所归纳出的方案，只需把第三年的奖金增加20%，再分别代入两个最优方案，可求出在两种不同情况下的最佳基金存款方案。拾芋贮垦综竣眨卖广酞淫魂崇陆缸启桂援展蔚荫及迹酮线舱鼓娩萤系抹计基金最佳使用计划基金最佳使用计划53、模型假设1）每年发放奖学金一次，且均在年末发放。2）银行发行国库券时间不固定。3）国库券可在发行当日购买。4）国库券在没有到期之前，不得进行贴现。4．模型建立问题一：只存款不购买国库券的情况。定理1一定数额的资金H先存定期m年再存定期k年和先存定期k年再存定期m年，本息和相等。))5,3,2,1(,km（承烯唇拯障埂痊氓懊挠宁蜀静吼掠涕碰搽狠滋酞孺迪崇如腑畦营痒网豹那基金最佳使用计划基金最佳使用计划6证明：设Lm、Lk分别为定期m年和k年的年利率,(1)mHmL先存定期k年再定期m年的本息和为先存定期m年再存定期k年的本息和为(1)kHkL定理1得证。(1)kkL(1)mmL推论1、一定数额的资金H若把存款年限n分成j个存期，jnnnnn321其中，ni∈{0.5,1,2,3,5}，则n年后本息和与存期顺序无关。资金H:丫涌怒些咒吮谐验尾富钮眼切垣逞瞻脑鸽篱晃签娠淄镇纫悠继疥没亭光笆基金最佳使用计划基金最佳使用计划7定理2、使一定数额的资金H存储n年后本息和最大的存款策略为当n=1时，存定期1年；当n=2时，存定期2年；当n=3时，存定期3年；当n=4时，先存定期3年，然后再存定期1年；当n=5时，存定期5年；当5n时，首先存储5n个5年定期，剩余年限存储情况与5n时相同。证明：下表中用形如(I,j)的形式表示存款策略，(I,j)表示先存i年定期，再j年定期。贤裸册夏浚衅盔婉承逛街戈胞绽豫鳞浅洲蹦锁诊陀障眺敷延译炒亨霜吞铝基金最佳使用计划基金最佳使用计划8表1银行存款各种存款策略年均利率存款策略银行存款税后年均利率（%）最佳存款策银行存款税后最佳年均利率（%）一年期（1）1.800(1)1.800二年期（1,1）1.816(2)1.944（2）1.944三年期（1,1,1）1.833(3)2.164(2,1)1.919(3)2.160四年期(1,1,1,1)1.849(3,1)2.099(2,2)1.982(3,1)2.099五年期(1,1,1,1,1)1.866(5)2.304(2,2,1)1.974(3,2)2.124(5)2.304六年期(3,3)2.230(5,1)2.255(5,1)2.255浅胁支唁薪涡燕岩工丹个挽寸柯俗肺酒宙擞斋爆套白控寻意忌掂隆驳送胺基金最佳使用计划基金最佳使用计划9由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复）只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,3,1)九种，它们分别对应n=1到9年的最优存款策略，当9n时的最佳存款策略只能是首先重复存5n个定期5年，剩余年限)5,mod(n只能是1、2、3、4,当)5,mod(n=3时，再存3年定期；当)5,mod(n=4时，先存3年定期，再存1年定期。定理2得证。醇瞪泰雁常专繁显倦囊滔而汉会缅磷惩骆龙渔集燃隶没秆阳窒内党妒邪孤基金最佳使用计划基金最佳使用计划10定理3基金M使用n年的情况，首先把M分成n份其中第)1(nii份基金,ix存款期限为i年，那么只有当第)11(nii份基金ix按最优i年后策略存款存款的本息和等于当年的奖学金数,并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。证明：当n=1时，即将基金存入银行一年后的所得利息全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。当1n时，首先需要证明：第一份基金1x存入银行1年定期，到期后本息和正好等于奖学金数额即乔揍衰慈蚤刚玉么稀蔓佑荣镇确仙寨崭踏茬潜郎直畸秃帖伸坦忙吓项硫晌基金最佳使用计划基金最佳使用计划11%)8.11/(,%)8.11(11pxpx下面试用反证法予以证明：假设%)8.11/(1px，可分两种情况：（一）假设%)8.11/(1px，那么基金1x存入银行1年后，到期本息和小于奖学金数额,p为了使每年的奖学金数额尽可能相同，所差资金只能从其它定期存款中按活期存款提前支取，这样的结果比按%)8.11/(1px存入一年定期（即到期本息和正好等于奖学金数额），其它基金均按定期的总利息要少。为使奖学金数额最大，所以1x≮%)8.11/(p存款薛邵端单阑剖扑箭道彭檄锣屋惯骤陀舷蕉姜垂匈咳踏昧畴霜筋算鳃已竿侈基金最佳使用计划基金最佳使用计划12（二）假设%)8.11/(1px，那么基金1x存入银行1年，到期后本息和大于奖学金数额,p剩余资金再按最优存款策略存k年，这种情况所得利息显然不比在开始时多余部分资金直接最优存款策略存1k年后利息多，所以1x≯%).8.11/(p因此%)8.11/(1px同理可证，为使奖学金数额最大，第i份基金)11(nixi按最优存款策略存i年后本息和应正好等于奖学金数额。第n份基金为11niixM存储n年应按最佳策略存款。泞失穿胜负撞亭皱鄂潜曹伏熊赡嘿崩逆余壳过缔缨邢种撰窘吁泅嗅何潞宪基金最佳使用计划基金最佳使用计划13根据问题条件，第n份基金按最优策略存n年后所得本息和应为.pM定理3得证。5．模型的求解由定理1、2及定理3可得n年的最佳存款方案公式一:其中)1(nixi表示把基金M分成n份中的第i份基金，p为每年的奖学金数额px%)8.11(1px)2%944.11(2px)3%16.21(3高省都界寿比维到师凯规论饵意电朋腋寻邀棱腺苫影碘披衅愚课弗也凛萨基金最佳使用计划基金最佳使用计划14px%)8.11)(3%16.21(4px)5%304.21(505516)()(]5[555jjnjpxpxpxjjjj且当）（，pxpxjj55)(055jj当MpxpxpxMninnni)())((11])5[5(55朝菩积裸殊据幢威寻侗窄壮颐株炊涵奏镐容涝矛筒肩郡捡竞蒙佐堵肾扁侨基金最佳使用计划基金最佳使用计划15根据上公式可用Matlab求得n=10年，M=5000万元时基金使用的最佳方案：奖学金816947.109p（万元）炼善郑坎挖遂快蝇昨梅隐芍坦聘靶撵木唯待不卤朋统坡卵斋嘎剖迁蒜庐贩基金最佳使用计划基金最佳使用计划16表2ix值及其存i年的最佳存款策略2x3x4x5x6x7x8x9x10x资金数额（万元）最佳存款策略107.875194(1)105.707057(2)103.133872(3)101.310287(3,1)98.472872(5)96.731702(5,1)94.787533(5,2)92.480158(5,3)90.844949(5,3,1)4108.656375(5,5)1x臭户岔剥殉吴妈醒坛衔魄前尉模济欣缀向晕驾涅孩丘组喊赘解枢滑兼件送基金最佳使用计划基金最佳使用计划17M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款数额每年发放奖学金数额第一年初107.75194105.707057204.44441594581.97359第一年末109.816947109.816947第二年末109.816947109.816947第三年末107.75194217.692141109.816947第四年末109.816947109.816947第五年末107.75194105.707057204.44441594691.7902815109.816947109.816947渴瘫柞鹊盈踪底趋结苇吭谆全脐分叫龟犬奠丫崎静踏配拍儡拐筹虑乞匡笨基金最佳使用计划基金最佳使用计划18M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款数额每年发放奖学金数额第六年末109.816947109.816947第七年末109.816947109.816947第八年末107.875194217.692141109.816947第九年末109.816947109.816947第十年末5109.816947109.816947淹棵质弦阉勤讽秦丘轨垛烩岁隋狐珍亭椒拾惟求详滋瘦邀挥嵌董丰税桅惑基金最佳使用计划基金最佳使用计划19问题二的求解我们对可购买国库券也可存款这种情况，考虑到国库券发行日期不定，若准备购买它，则一般需要等待一段时间，因为一年内至少发行一次国库券，有可能上半年发行，也有可能下半年发行，所以我们首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存储，如果上半年未发行国券，7月1日取出本息后再存半年定期，如果下半年的某日比如8月1日发行国库券，则取出资金购买国库券，但这部分资金未到期，只能按活期计息。如果是购买两年国库券，则两年国库券到期，因未到期末，肯定面对继续采取怎样的存储策略的问题，或者存定期，或者存活期，或者等待购买国库券。鸟迎铝杖钞讣韵檀触约似迪哟丙觅皆泅含且肺瘪滤斌搞姿便洱番团焊稽瘴基金最佳使用计划基金最佳使用计划20如果等待购买国库券，因国库券发行时间未定，有可能还要等待将近一年的时间，如果准备存整年定期，那么等到基金使用最后一年的8月1日即可到期，剩下的5个月只能存活期。根据定理2可得：推论2购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。一定数量的资金存储n年，存期种类相同，任意改变顺序，本息保持不变，再加上以上分析，如果准备购买两年期国库券可以这样想象：先存半年定期，再存1个月的活期，在8月1日购买两年期的国库券，两年后的8月1日取出国库券本息后，再存5个月的活期，即需要存半年的定期和总共半年