计算方法-2.1-正交多项式

第二章最佳平方逼近---另一种函数逼近问题最佳平方逼近问题的提法：.],[)()(.||)()(||min)()()(||||)(],[)(2)(2122式上的最佳平方逼近多项在为称，使得中求的集合，在的多项式是所有次数不超过上的连续函数，是假设baxfxPxPxfdxxPxfxPfxPHnHbaxfnnHxPbannnnnnn它是度量函数的大小和函数之间逼近程度的一种度量，称为平方尺度在平方度量下，通过极小化过程找出一个广义多项式，使平方误差达到最小。解最佳平方逼近问题：1）如何选取广义多项式空间？2）广义多项式是否存在？是否唯一？3）如何求得广义多项式？nH2.1.正交多项式及其性质.],[)(0)(],[0)()()(3)(),1,0()(||2],[0)(1],[)(上的权函数为则称。有上一定，则在，若）对任意的非负函数存在；各阶矩）；，）件：上有定义，如果满足条是假设baxxfbadxxfxxfndxxxbaxxbaxbaban定义1.1.常见的权函数：;,)(;0,)(;11,1)(;11,11)(;,1)(222xexxexxxxxxxbxaxxx3)2)1)4)5).],[)()()()()(),(],[)(],[)()(上的加权内积为与为函数上的权函数，称是，，给定baxgxfdxxgxfxgfbaxbaCxgxfba定义1.2.内积的性质：).,(),(|),(|5;0),(0,0),(4);,(),(),(3;),,(),(2);,(),(122121ggffgffffffgfgfgffRgfgffggf）时，当且仅当））））（对称性）（双线性性质）（正定性）（Cauchy-Schwarz柯西-施瓦兹不等式）连续函数空间内积空间的重要结论在连续意义下的内积连续函数空间：所有定义在[a,b]上的连续函数集合，按照函数的加法和乘法构成实数域上的线性空间，记作C[a,b].由内积诱导出范数定义1.3.一个实函数称为一个函数空间的范数，如果它在空间上处处有定义，并满足如下条件：12121||||0,0||||0;2||||||||||,;3||||||||||||.fffffRffff）且））（正定性）（齐次性）（三角不等式）在闭区间上连续的函数的最常用的范数有：)(xf;|)(|)(||||-12];,[|,)(|max||||111dxxfxfLbaxxffba范数）：范数（）范数）：最大值范数（）.)()(||||,-2321222dxxfxfLba范数）：范数（欧氏）.],[)()(0)()()(),(],[)(],[)()(上带权正交在与则称函数，满足上的权函数，且是，，给定baxgxfdxxgxfxgfbaxbaCxgxfba定义1.4.正交系。标准系为规范，则称函数若上带权的正交函数系为在则称满足关系式上的权函数，函数系是设)(1.],[)}({00)()()(),()}({],[)(00kikbajkjkiAbaxkjAkjdxxxxxbax定义1.5.项式。次正交多上带权的为称上带权正交在序列，则称多项式次多项式的为首项系数取nbaxgbaxgxgnaxnnnni],[)(.],[)}({)(0)(0特别地，在连续意义下的正交可以证明：正交函数系必是线性无关的函数系.0)}({xgn？Gram-Schimidt（格拉姆-施密特）正交化方法：例如：三角函数系：,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1kxkxxxxx是上带权的正交函数系.],[1)(x例如：幂函数系：一族线性无关的函数列。,,,,,12nxxx1)(0xg),(),(),(),(),(0)()(0000000010001gggxaggagxggxgaxxg1)(0xg)(),(),()(00001xggggxxxg),(),(),(),(0),(),(),(),(011110012120110000202ggaggagxggggaggagxgg),(),(,),(),(1112100020gggxagggxa)(),(),()(),(),()(111120000222xggggxxggggxxxg)()()(110022xgaxgaxxg问题：如何由得到一组正交函数列。,,,,,12nxxx正交多项式构造问题类似地，10)(),(),()(njjjjjnnnxggggxxxg10)()(njjjnnxgaxxg1,,1,0,),(),(njgggxajjjnj都正交！与1,,1,0,njggjn.0)()()(),()(1)(],[)}({,2,1,0)(bakkkkdxxgxqxgqxqkxbaxgkkxg，总有的多项式对任何次数不高于的正交多项式系上带权是，则次多项式，是设定理..)}({1)()(],[)}({是唯一的，则这样的的首项系数为个的正交多项式系，若各上带权是设xgxgxbaxgkkk定理.说明：线性无关函数系给定后，正交函数系由区间和权函数唯一确定！.)(,,,)(010nkkknnngcxqgggxqn，即线性组合，且表示唯一均可表示成正交多项式次式任意推论1.提示：只需利用正交性，确定出系数即可。kc),(),(kkknkgggqc正交多项式的性质：.1}{,,,010是线性相关的个正交多项式，则它们前中是正交多项式列（线性无关性）若nggggkn性质1.0,,,00,,,00010kkkkjknjjnjjjkknjjjncggcggcgcgggcccc作内积，有，则两边与使假设存在常数的一组基。构成了，则多项式组成的线性空间的为所有次数不超过是正交多项式列，设nnnkHgggnHg,,,}{100性质1'..,,1,0,0))(,(.0))(),(()(111nkxgxxgxqgxqnnknnnn特别地，带权正交，即必定与次式任意推论2.提示：.0),(),(,)(01100nknkknnkkknkkknggcggcgcxq有注意).,/(),(),,/(),(),()()()(}{111110nnnnnnnnnnnnnnnkgggggggxgxgxgxxgg其中的递推关系：，存在着如下的正交多项式列对于首项系数为性质2.证明：)(),()(,)()()()(),()(,)()(1).()()()(,,,,1)(11110011111100110xgxgcxgxxgxgcxgcxgcxgxxgxgxgcxxgcxgcxgcxxgcccnxxgkkknknnknkknnnnnnn作内积有。两边与两边的系数，可见比较使次多项式，因此存在是由于注意到，当时，有。nk10kc当时，有。nk1)(),()(,)(1111xgxgxgxxgcnnnnn)(),()(,)()()(~)(~),()(,)()(1~).(~)(~)(~)(,~,,~,~)(11100111001101xgxgxxgxgxgxgcxgcxgxxgxgxgcxxgcxgcxgcxxgcccnxxgnnnnnnnnnnnnnnnn作内积有。两边与两边的系数，可见比较使次多项式，因此存在是由于于是，).()()()(11xgxgcxgxxgnnnnnn再确定，得证。nc.],[)(个不同的实零点内有在次正交多项式nbaxgnn性质3.证明：留作课后练习！几种常用的正交多项式1勒让德(Legendre)多项式多项式。得到的多项式就是正交化时，由，权函数为当区间为Legendre},,,,1{1)(]1,1[nxxx1814年Rodriguer(罗德里克斯,法国人)给出了它的一般表达式：1785年，Legendre引进.,2,1,1dd!21)(1)(20nxxnxPxPnnnnn勒让德多项式性质11egendre{()}[1,1],0()().221nkmLPxkmPxPxdxkmk多项式系是区间上的正交多项式系即性质1.11d)(dd)(ddxxxxxmmmkkk证明：由分部积分法得不妨假设,mk1122111dd!211dd!21)()(!!2dxxxmxxkdxxPxPmkmmmmkkkkmkmk11221dd1dddxxxxxmmmkkk1111d)(dd)(dkkkmmmxxdxxmmxx)1()(2令1111111111d)(dd)(dd)(dd)(ddxxxxxxxxxkkkmmmmmmkkk1)它是个2m次多项式.2)-1和1是它的m重零点.2!!kmkm111111d)(dd)(ddxxxxxkkkmmm11)(d)(d)1(dxxxxkkmmkmkmk0若取，有mk112211)(d)(d)1()()(!!2dxxxxdxxPxPkkkkkkkkkkk11)1()1()!2()1(dxxxkkkk11)1()1()!2(dxxxkkk112)1()2()2)(1(123)1()!2(dxxkkkkkkk分部积分1112)1()12)(2()2)(1(123)1()!2(kxkkkkkkk122)12)(2()2)(1(!)!2(kkkkkkk1222)12()!2()!()!2(kkkkk1222)12()!(kkk.2)12()!()()(!!212211kkkkkkkdxxPxPkk于是，有.)12(2)()(11kdxxPxPkk.)!(2)!2()(2nnnaxPnn的最高次项的系数是性质2.2212211d1d()(1)(1)2!d2!dnnnnnnnnnnnLxxxCxnxnx2221()2(21)(1)2!nnnnnLxnnnxbxn22(21)(1)(2)!.2!2(!)nnnnnnnn故Ln(x)的首系数为).()1()(xPxPnnn性质3.这说明：n为奇数时,Pn(x)为奇函数;n为偶数时,Pn(x)为偶函数;利用得当n为偶时，xn2j均是偶函数,故Ln(x)为偶函数。同理,可证明奇数情况。2220(1)(1),nnjjnjnjxCx220d(1)(1)(22)(221)(221),dnnmjjnjnnjxCnjnjnjnxx:)(满足如下递推关系xPn性质4.,2,1),(1)(112)(,)(,1)(1110nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn),33035(81)(),35(21)(),13(21)(,)(,1)(244332210xxxPxxxPxxPxxPxP-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-