对数函数的图象与性质教学设计

对数函数的图象与性质钱恺华一、目标及其解析《普通高中课程标准试验（试验）》规定的对数函数的教学要求是：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助信息技术画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点分析以上要求，主要是让学生在理解对数函数概念和运算性质的基础上，以具体事例为载体了解对数函数的对应关系，借助图象探索并了解对数函数的单调性等性质。实际上，限于高一学生的数学水平，对数函数的研究只能停留在粗略的直觉水平上。所以，实际教学中应设法在学生现有的智力发展水平上，借助于指数哈数，把对数函数的概念（主要是对应关系）、图象和简单性质等直观地讲清楚。二、内容及其解析从“函数是描述客观世界变化规律的重要模型”观点出发，以“感受运用函数概念建立对数函数模型的过程与方法”“通过对数函数的研究加深函数概念的理解”为定位，将教学聚焦于如下内容：刻画一类问题（对数增长）变化规律的函数模型——面对某一变化现象，选择恰当的函数模型研究其变化规律；理解函数概念的一个载体——以一般函数概念为指导，同时加深函数概念理解，因此要让学生经历研究一个（类）函数的完整过程。三、教学问题诊断本课内容的认知基础时：一般函数概念、性质及研究过程；指数函数概念、性质及研究过程与方法；对数的概念、运算的知识、对数与指数的关系；等等。教学问题诊断：对应关系的特征（与指数函数对应关系的关系）；符号logax的理解（这是一个整体，对于给定的正数x，logax是一个确定的实数）；对数函数刻画的问题类型（对数增长的趋势不常见，不好描述）；等等。为了化解问题，应当注意利用指数函数的研究经验和结果。四、教学过程教学过程的设计，强调如下三点：聚焦对应关系，体会概括过程，强调函数模型思想。（1）概念的背景及引入问题1:细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数2xy。根据函数关系式2xy，你能设计出几个数学问题？师生活动：学生设计的问题分为两类：已知x，求y；已知y，求x。教师对提出后一类问题的学生给予表扬。设计说明：发挥学生的主体作用，培养学生的问题意识，鼓励学生发展逆向思维。对数式21log821log421log22log12log22log22log42log8值学生填写以上表格。问题2：表中，从对数式与对应值的角度看，有什么特征？你能借助函数2xy的对应关系，说明“对于任意0x，都有唯一的2logx与之对应吗”？你能给出一个相应的函数模型吗？说明理由。师生活动：学生归纳出对数函数的模型logayx。设计说明：从对数运算出发，承上启下，让学生理解对应关系，借助指数函数，以一般函数概念为指导，概括出对数函数的概念，强调函数模型思想，同时加深函数概念的理解。同时从2logyx抽象出对数函数的一般形式logayx，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生抽象思维能力。（2）定义及其辨析通过阅读教科书的方式给出对数函数的定义问题3：你能说出对数函数和指数函数的对应关系吗？（不讨论图象的对称性）师生活动：借助指数函数明确了对数函数的定义域，值域，对底数a的限制。设计说明：让学生通过对应关系，明确对数函数的定义域和值域。（3）图象和性质问题4：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？师生活动：学生回忆指数函数的研究过程，明确了探究方向。设计说明：让学生体会研究一个（类）函数过程与方法。师生活动：第一、二组同学作出函数2logyx，第三、四组同学作出12logyx的图象。类比画指数函数图象的过程，选取的a在不同范围内，教师可进一步追问，列表取那些x比较合适，便于计算y，作图方便。实物投影学生的作图，让学生自评，互评，教师精讲点拨。（此处若有学生借助指数函数的图象作图，教师可适当点评），接着教师利用多媒体在同一坐标系中作出2logyx，12logyx，3logyx的图象，要求学生探究：（1）对数函数log(1)ayxa，当a值增大，图象的上升“程度”怎样；（2）观察图象特征，得到相应的函数性质。设计说明：特殊到一般，同时注意了具体函数的代表性，符合学生的认知规律。让学生亲身体验作图过程，帮助学生感受a的不同取值对图象特征的影响。自评互评，培养学生的交流能力。从观察图象特征，得到相应的函数性质，由形到数，条理清晰，直观清楚。问题5：如果给这三个函数图象分类，请确定一个分类标准。按照这个标准，总结对数函数的图象和性质。师生活动：教师要求学生依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。学生探究成果，在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：（教师还可以提问，怎么快速地画出对数函数的草图）函数log(1)ayxalog(01)ayxa图像定义域值域单调性过定点取值范围教师举例说明对数函数模型在实际生活中的应用。设计说明：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。通过对数函数的图象和性质的研究，让学生经历研究一个（类）函数的完整过程。举例说明对数函数模型在实际生活中的应用，让学生体会对数函数作为一种“缓增函数”，在现实世界有着紧密的联系，有着广泛的应用价值。（4）性质的应用例题1：比较下列各题中两个数的大小（1）3log3.4，3log3.8（2）2log3，4log5（3）5log0.1，3log2师生活动：学生类比利用指数函数的性质比较两个数的大小的方法，自己分析，自主解决问题。学生思考:设2log13a，则实数a取值范围是，教师注意引导学生用分类讨论思想，应用函数性质去解答。设计说明：三个小题层层递进，从同底到可以化为同底，到不同底找中间量为桥梁，利用对数函数的单调性，进行两个函数对数值的大小比较，函数的性质得到初步应用。思考题的设置，培养学生探索精神，渗透分类讨论思想。（5）课堂小结，提升反思问题6：1、你能归纳出这节课的学习内容吗？2、对数函数及其性质和指数函数及其性质有什么区别和联系？3、你能谈谈这节课的收获和体会吗？师生活动：小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师补充。设计说明：学生在反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及其性质。