蒙特卡罗方法求积分

第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用1.蒙特卡罗方法求积分2.重要抽样3.俄国轮盘赌和分裂4.半解析方法5.系统抽样6.分层抽样第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用的。1.蒙特卡罗方法求积分蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。设欲求积分其中，P＝P(x1，x2，…，xs)表示s维空间的点，Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数f(P)，令则即θ是随机变量g(P)的数学期望，P的分布密度函数为f(P)。现从f(P)中抽取随机向量P的N个样本：Pi，i＝1，2，…，N，则就是θ的近似估计。sVdGPP)()()()(PPPfGg)()()(PPPPgEdfgsVNiiNgNg1)(1ˆP2.重要抽样1)偏倚抽样和权重因子取Vs上任一联合概率密度函数f1(P)，令则有现从f1(P)中抽样N个点：Pi，i＝1，2，…，N，则就是θ的又一个无偏估计。)()()()()()(11PPPPPPffWWgg)()()(111PPPPgEdfgsVNiiNgNg111)(1ˆP2)重要抽样和零方差技巧要使最小，就是使泛函I[f1]极小。利用变分原理，可以得到最优的f1(P)为21212221212212)()()()()()(1fIdffgdfggEssVVgPPPPPPPP21gsVdfgfgfPPPPPP)(|)(|)(|)(|)(1特别地，当g(P)≥0时，有这时即g1的方差为零。实际上，这时有不管那种情况，我们称从最优分布fl(P)的抽样为重要抽样，称函数|g(P)|为重要函数。021g)()()()()()()(1PPPPPPPPfgdfgfgfsVsVdfggPPPP)()()(1113.俄国轮盘赌和分裂1)分裂设整数n≥1，令则于是计算θ的问题，可化为计算n个θi的和来得到，而每个gi(P)为原来θ的估计g(P)的1/n，这就是分裂技巧。sViiidfgnggPPPPP)()()()(niiVsdfg1)()(PPP2)俄国轮盘赌令0＜q＜1，则于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值，ζ的特性为：这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ，这就是俄国轮盘赌。sVqdfgqPPP)()(10)1(qqqqPqPq1)0()(3)重要区域和不重要区域我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区域，或感兴趣的区域；称对积分θ贡献小的区域为不重要区域，或不感兴趣的区域。考虑二重积分令R是V2上x的积分区域，表为R＝R1+R2，其中R1是重要区域，R2是不重要区域，两者互不相交。又命Q为V2上相应于y的积分区域。则2),(),(VdxdyyxfyxgRQdxxfdyxyfyxgxfxyfyxf)()(),()()(),(1212通常蒙特卡罗方法，由f(x,y)抽样(x,y)的步骤是：从fl(x)中抽取xi，再由f2(y|xi)中抽样确定yi，然后用作为θ的一个无偏估计。现在，改变抽样方案如下：(1)当x∈R1时，定义一个整数n(xi)≥1，对一个xi，抽取n(xi)个yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值代替上述θ估计式中的g(yi,xi)。NiiiNyxgNg1),(1ˆ)(11),()(1ixnjijiiiyxgxng(2)当x∈R2时，定义一个函数q(xi)，0＜q(xi)＜1，以抽样值代替上述θ估计式中的g(yi,xi)。这里ξ是随机数。显然，这种抽样估计技巧，就是对x∈R1时，利用分裂技巧，而对x∈R2时，利用俄国轮盘赌，而使估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。)(0)()(),(2iiiiiixqxqxqyxgg4.半解析（数值）方法考虑二重积分令则θx为θ的无偏估计。RQVdxxfdyxyfyxgdxdyyxfyxg)()(),(),(),(122Qxdyxyfyxg)(),(2θx的方差为而由f(x,y)抽样(x,y)，用g(x,y)作为θ的估计，其方差为dxxfx)()(122212122222)()()(),())(),((2),()),((),()(),()),((2222dxxfdxxfdxdyyxfyxgdxdyyxfyxgdxdyyxfdxdyyxfyxgxxVxxVxVxVg5.系统抽样我们知道，由f(x,y)抽样(x,y)的步骤是：从fl(x)中抽取xi，再由f2(y|xi)中抽样确定yi，现在改变xi的抽样方法如下：iyiidyxyf22)(ixidxxf11)(Nidxxfix)(1yi的抽样方法不变。其方差为与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约dxxfNx)()(112dxxfNxgN)(1122ˆNiiiNyxgNg1),(1ˆ6.分层抽样考虑积分在（0，1）间插入J－1个点0＝α0＜α1＜…＜αJ-1＜αJ＝1令jjjjdxxfxgxpxfxfdxxfpjjjjjjj11)()(0)()()(1其它10)()(dxxfxg则有现在，用蒙特卡罗方法计算θj，对每个θj利用fj(x)中的nj个样本xij，那么有JjniijjjcNjxgnpg11)(1ˆJjjjp1