全国初中数学竞赛真题及答案大全

九年级数学第1页2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月18日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内1.若m为实数，则代数式m+m的值一定是A.正数B.0C.负数D.非负数2．如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a、b、c三种物体的重量，下列判断正确的是A．caB．abC．acD.bc3.如图2，点C是∠PAQ的平分线上一点，点B、B′分别在边AP、AQ上，如果再添加一个条件，即可推出AB=AB′,那么该条件不可以是A.BB′⊥ACB.CB=CB′C.∠ACB=∠ACB′D.∠ABC=AB′C4．图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，则（a+b）2的值是A．13B．19C．25D．169图35．已知m是方程01x-x2=+2006的一个根，则代数式3+1++22m20062005m-m的值等于A.2005B.2006C.2007D.20086．将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有图2图1九年级数学第2页记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为A．37B．36C．35D．347．某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于A．9人B．10人C．11人D．12人8．如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（）块A．9B．10C．11D．129．如图5，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120，∠A=26,则∠A′DB的度数是A．120B．112C．110D．10810.方程xx-x22=2的正根的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若[]x表示不超过x的最大整数，如[][][]0==3=2.30.7-43.7-，，等，则[][]=3+5π-_________12．在直径为4cm的⊙O中，长度为32cm的弦BC所对的圆周角的度数为.13．如图6，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为____________°.14．如图7，在△ABC中，AB=5,AC=3,D为BC的中点，AD=2，则tan∠BAD=__________.九年级数学第3页15．若干个装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的41，则按改变的方式装卸，自始至终共需时间小时.16.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用图8中的实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是.17.已知a＜3，b＞3，且1-kba=+，ab=3,则k的最小整数值是_____________.18.若50z-yx30zyx=+3=++，，且x、y、z均为非负数，则zy5xM2+4+=的最大值为_________________.三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，满分30分)19.已知在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度0(α＜α＜90），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示）。那么，在上述旋转过程中：（１）线段ＢＨ与ＣＫ具有怎样的数量关系？四边形ＣＨＯＫ的面积是否发生变化？证明你发现的结论；（２）连接ＨＫ，设ＢＨ＝ｘ．①当△ＣＫＨ的面积为32时，求出ｘ的值。②试问△ＯＫＨ的面积是否存在最小值，若存在，求出此时ｘ的值，若不存在，请说明理由。九年级数学第4页20.某农机租赁公司共有５０台联合收割机，其中甲型２０台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：（１）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（２）若使农机租赁公司这５０台收割机一天所获租金不低于７９６００元，试写出满足条件的所有分派方案；（３）请你为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司５０台收割机每天获得租金最高，并说明理由。2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题：1.D；2.A；3.B；4.C；5.D；6.B；7.C；8.A；9.B；10.A。每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元九年级数学第5页1.提示：若m≥0，则|m|+m=m=2m≥0；若m0，则|m|+m=－m+m=0，故选D；2.提示：由左天平知a＞b，由右天平知b＞c，∴a＞c故选A；3.提示：由已知条件和选项B不能保证△ACB≌△ACB′，从而无法推出AB=AB′，故选B；4.提示：依题意知（a－b）2=1，∴a2－2ab+b2=1，又∵a2+b2=13，∴2ab=12，∴（a+b）2=a+2ab+b2=13+12=25，故选C；5.由已知条件得m2－2006m+1=0，∴m2－2005m=m－1，m2+1=2006m，于是原式=m－1+20062006m+3=－1+1m+3=m-m+1m2+3=2006m-mm+3=3005+3=2008，故选D；6.提示：每隔3cm剪一刀共剪72÷3－1=24－1=23（刀），每隔4cm剪一刀，共剪72÷4－1=17（刀），所以应共剪23+17=40（刀），但其中重复位置的刀数为：72÷12－1=5（刀），因此互不重复的刀数为40－5=35（刀），所以72cm长的绳子按要求被剪的段数为35+1=36（段），故选B，7.提示：因为每份菜单价为别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），共9种菜，所有符合要求的购菜方案为：1+9，2+8，3+7，4+6，1+2+7，1+3+6，1+4+5，2+3+5，1+2+3+4，共9种，又共有92人就餐，∴92÷9=10…余2，故选C；8.提示：从俯视图知该立体图形从前到后共排了三排小正方体，各位置上小正方体的个数如图所示，故选A；9.提示：分别延长BD，CE相交，则交点即为点A，由三角形中位线的性质知DE∥BC，∴∠ADE=∠B=180°－∠C－∠A=180°－120°－26°=34°，又由轴对称的性质知∠A′DE=∠ADE=34°，∴∠A′DB=180°－2×34°,∴∠A′DB=180°－2×34°=112°,故选B；10.提示，分别画出函数y=2x－x2和y=2x在x＞0的图象（如图所示），因为函数y=2x－x2和y=2x的图象在第一象限内无交点，因此，方知2x－x2=2x无正数根，故选A。另解：令2x－x2=0，解得x1=0，x2=2，易知方程2x－x2=2x正数解x的值的范围应是0x2，而此时2x－x2=－（x－1）2+1≤1，2x＞1，因此，原方程无正数解。二、填空题：11.10；12.60°或120°；13.12；14.34；15.16；16.24＜x＜38；17.－22；18.130。11.－10，提示：〔5〕+3〔－〕=2+3（－4）=2－12=10；12.60°或120°，提示：作⊙0的直径AB，连结AC，则在△ABC中，AB=4，BC=23，∠C=90°，∴∠A=60°，九年级数学第6页设BC所对的圆周角为∠P.当∠P的顶点P在BAC上时，∠P=∠A=60°，当∠P的顶点P在劣弧BC上时，∠P+∠A=180°，∴∠P=120°；13.12，提示：画出树状图求解，答案为12；14.34，提示：延长AD到E，使DE=AD=2，连结BE，则△BDE≌△CDA∴BE=AC=3，又AE=4，AB=5，显然△AEB为Rt△，∠E=90°，∴tan∠BAD=BEAD=34；15.16，提示：设自始至终需x小时，由于每个工人的装卸速度相同，且工作时间是等差递减的，因此，这些工人的装卸时间的平均数为12（x+14x）；于是得方程12（x+14x）=10；16.24x38，提示：分别求线段AB、BC与线段OD的交点的横坐标。17.6.提示：∵a＜3，b＞3，∴a－3＜0，b－3＞0,∴(a－3)(b－3)＜0，∴ab－3(a+b)+9＜0，又∵a+b=k－1，ab=3，代入上述不等式，得3－3(k－1)+9＜0，解得k5。18.130，提示：由30350xyzxyz用x来表示y、z，得y=40－2x，z=x－10，又由y≥0，z≥0，得402xx解得10≤x≤20，又把y=40－2x，z=x－10代入M=5x+4y+2z得，M=－x+140，显然M是关于x的一次函数，且M随x增大而减小，所以当x=10时，M的最大值为130。三、解答题：19.（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半.理由如下：连结OC∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，COAB∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，∴∠COK=∠BOH=∴△COK≌△BOH∴BH=CK，S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC=4.（2）①由（1）知CK=BH=x，∵BC=4，∴CH=4－x，根据题意，得CH·CK=，即(4－x）x=3，解这个方程得x1=1，x2=3，此两根满足条件：0＜x＜4所以当△CKH的面积为时，x的取值是1或3；②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：S=4－S△CKH九年级数学第7页=4－x（4－x）=（x2－4x）+4=（x2－2）+2当x=2时，函数S有最小值2，∵x=2时，满足条件0＜x＜4，∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2.20.（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30－x）台，派往A、B地区的甲型收割机分别为（30－x）台和（x－10）.∴y=1600x+1200（30－x）+1800（30－x）+1600（x－10）=200x+74000（10≤x≤30）（2）由题意，得200x+74000≥79600,解得x≥28，∵10≤x≤30，x是正整数∴x=28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；（3）∵y=200x+74000中y随x的增大而增大∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元.九年级数学第8页初三数学竞赛试题(初试)06.10.