数字图像处理A-第7章-小波和多分辨率处理

第七章：小波和多分辨率处理《数字图像处理A》第七章：小波和多分辨率处理小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起，其优势很明显—某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。本章将从多分辨率的角度解释小波变换。《数字图像处理A》主要内容7.1背景7.2多分辨率展开7.3一维小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包《数字图像处理A》主要内容7.1背景图像金字塔子带编码哈尔变换7.2多分辨率展开7.3一维小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包《数字图像处理A》7.1背景从数学的观点看，图像是一个亮度值的二维矩阵，像边界和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合会产生统计值的局部变化。如图7.1所示。图7.1一幅自然图像和它的局部直方图变化《数字图像处理A》7.1.1图像金字塔图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有效但概念简单的结构。图7.2(a)一个图像金字塔第0级（顶点）第1级第2级第J-1级第J级（底部）《数字图像处理A》7.1.1图像金字塔金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。图7.2(a)一个图像金字塔第0级（顶点）第1级第2级第J-1级第J级（底部）基础级J的大小为N×N（J=log2N）顶点级0的大小为1×1第j级的大小为2j×2j（0jJ）共有J+1级，但是通常我们截短到P＋1级，其中1PJ《数字图像处理A》7.1.1图像金字塔如图7.2(b)框图所表明的，近似值和预测残差金字塔都是以一种迭代的方式进行计算。图7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统近似滤波器下采样器（行和列）第j级输入图像上采样器（行和列）第j-1级近似插值滤波器预测第j级预测残差《数字图像处理A》7.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：1.计算输入图像减少的分辨率近似值。通过对输入进行滤波并以2为步长进行抽样实现(即子抽样)。没有滤波器，在金字塔的上一层混淆变得显著，子抽样点对所采取的区域没有很好的代表性。图7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统《数字图像处理A》7.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：2.对上一步的输出进行内插—因子仍为2—并进行过滤。这将生成与输入等分辨率的预测图像。由于在步骤1的输出像素之间进行插值运算，插入滤波器决定了预测值与步骤1的输入之间的近似程度。如果插入滤波器被忽略了，预测值将是步骤1输出的内插形式，复制像素的块效应将变得很明显。图7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统《数字图像处理A》7.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：3.计算步骤2的预测值和步骤1的输入之间的差异。以j级预测残差进行标识的这个差异将用于原始图像的重建(见例7.1)。在没有量化差异的情况下，预测残差金字塔可以用于生成相应的近似金字塔，包括原始图像，而没有误差。图7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统《数字图像处理A》7.1.1图像金字塔例7.1高斯和拉普拉斯金字塔图7.3显示了图7.1中花瓶的一种可能的近似值和预测残差金字塔。图7.3两种图像金字塔及它们的直方图：（a）近似金字塔；（b）预测残差金字塔（a）(b)《数字图像处理A》7.1.2子带编码子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带分量的几何，称为子带。子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息损失的抽样原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个子带来完成《数字图像处理A》7.1.2子带编码因为分解和重建是借助数字滤波器实现的，所以我们的讨论从数字信号处理（DSP）和数字信号滤波的简介开始。图7.4为简单数字滤波器。f(n)f(n-0)f(n-1)f(n-2)f(n-K+1)h(0)+++单位延迟单位延迟单位延迟……h(1)h(2)h(K-1)h(0)f(n)+h(1)f(n-1)h(0)f(n)+h(1)f(n-1)+h(2)f(n-2)𝒉𝒌𝒇𝒏−𝒌=𝒇(𝒏)∗𝒉(𝒏)𝑲−𝟏𝑲=𝟎图7.4（a）数字滤波器《数字图像处理A》7.1.2子带编码数字滤波器由延迟单元、乘法器和加法器组成。从滤波器的顶部开始，延迟单元依次连接建立输入法延迟形式。如图7.4(a)中的注释所指出的，输入序列f(n)的延迟单元输出的K-1延迟序列分别与常数h(0),h(1),h(k-1)相乘后求和，可产生滤波后的输出序列：𝑓(𝑛)=ℎ(𝑘)𝑓(𝑛−𝑘)=𝑓(𝑛)∗ℎ(𝑛)∞𝑘=−∞(7.1.3)其中，*表示卷积，乘数K称为滤波系数。《数字图像处理A》7.1.2子带编码如果输入到图7.4(a)的滤波器是图7.4（b）和4.2.3节中的离散单位冲激，则式（7.1.3）变为𝑓(𝑛)=ℎ(𝑘)𝜎(𝑛−𝑘)=ℎ(𝑛)∞𝑘=−∞(7.1.4)图7.4（b）单位离散冲激响应;（c）滤波器的冲激响应《数字图像处理A》7.1.2子带编码图7.5显示了6个功能上相关的滤波器的冲激响应。图7.56个功能上相关的滤波器的冲激响应:(a)参考响应;（b）符号的反转;（c~d）顺序反转;(e)调制;（f）顺序反转和调制h2(n)=-h1(n)h3(n)=h1(-n)h1(n)h4.(n)=h1(K-1-n)h5(n)=(-1)nh1(n)h6(n)=(-1)nh1(K-1-n)《数字图像处理A》7.1.2子带编码图7.5(c)和(d)中的滤波器h3(n)和h4(n)的顺序反转形式：h3(n)=h1(-n)h4.(n)=h1(K-1-n)滤波器h3(n)是h1(n)关于垂直轴的映像；滤波器h4(n)是h1(n)的映像和平移形式。忽略平移两个滤波器的响应相同。图7.5（e）中的滤波器h5(n)由下式定义,称之为h1(n)的调制形式：(7.1.6)(7.1.7)h5(n)=(-1)nh1(n)(7.1.8)《数字图像处理A》7.1.2子带编码最后图7.5（f）显示的序列是h1(n)的顺序反转形式，它被调制了：综上6个序列说明了这样一个事实，即在规定两个滤波器之间的关系时，符号反转、顺序反转和调制有时时合并在一起的。h6(n)=(-1)nh1(K-1-n)(7.1.9)《数字图像处理A》7.1.2子带编码图7.6(a)显示了两段子带编译码系统的基本部分系统输入是一个一维的带限时间离散信号𝒇(n)分析滤波器h0(n)和h1(n)是半波数字滤波器，理想传输函数H0,H1如下图所示。H0低通滤波，输出f(n)的近似值H1高通滤波，输出f(n)的高频或细节部分综合滤波器g0(n)和g1(n)为重构的结果f𝑓(n)分析滤波器组综合滤波器组𝑓lp(n)𝑓hp(n)𝑓(𝑛)低频带高频带图7.6（a）一个二带子带编码和解码系统；（b）频谱分裂属性ab《数字图像处理A》7.1.2子带编码因此，FIR综合滤波器是分析滤波器的交叉调制的副本，有且仅有一个符号相反。为完美重构，综合滤波器和分析滤波器的冲激响应必须按如下两种方式之一联系起来：或更有普遍意义的表达式}1,0{,)()()(),2(jinjikgknhji满足该条件的滤波器组称为具有双正交(7.1.10)(7.1.12)𝑔0(𝑛)=−1𝑛+1ℎ1(𝑛),𝑔1(𝑛)=−1𝑛ℎ0(𝑛)𝑔0(𝑛)=−1𝑛ℎ1(𝑛),𝑔1(𝑛)=−1𝑛+1ℎ0(𝑛)(7.1.11)《数字图像处理A》7.1.2子带编码(正交镜像滤波器)(共轭正交滤波器)表7.0完美重建滤波器族在双正交的基础上进一步要求}1,0{,)()()2(),(jimjimngngji这对可完美重建的滤波器族定义了正交性。(7.1.13)《数字图像处理A》7.1.2子带编码(7.1.14)除式（7.1.13）外，可以证明正交滤波器满足如下两个条件：𝒈𝟏(𝒏)=−𝟏𝒏𝒈𝟎(𝟐𝑲𝒆𝒗𝒆𝒏−𝟏−𝒏)𝒉𝒊(𝒏)=𝒈𝒊(𝟐𝑲𝒆𝒗𝒆𝒏−𝟏−𝒏),𝒊={𝟎,𝟏其中，Keven的下标指出滤波器系数值必须是能被2整除的数。正如7.14指出的那样，综合滤波器g1通过顺序反转和调制与g0建立联系。《数字图像处理A》7.1.2子带编码表7.0中的一维滤波器也可用于图像处理的二维可分离滤波器。如图7.7所示。可分离滤波器首先应用于某一维(如垂直向)，再应用于另一维(如水平向)。行（沿m）行列（沿n）列列列图7.7子带图像编码的一个二维4带宽滤波器组《数字图像处理A》7.1.2子带编码例7.2图7.1中花瓶的4带宽子带编码图7.8显示了一个8抽头正交滤波器的冲激响应。图7.84个8抽头Daubechies归一化正交滤波器的冲击响应。𝒈𝟎,𝟎≤𝒏≤𝟕的值见表7.1《数字图像处理A》7.1.2子带编码使用7.7所示的子带编码系统对图7.1中的花瓶进行4个子带分离得到图7.9bacd图7.9(a)近似子带；（b）水平细节子带；（c）垂直细节子带；（d）对角线细节子带《数字图像处理A》7.1.3哈尔变换哈尔变换(Haar)是与多分辨率分析有关的图像处理手段之一。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：T=HFHT其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果(7.1.15)《数字图像处理A》7.1.3哈尔变换哈尔变换的变换矩阵H包含哈尔基函数hk(z)，它们定义在连续闭区间z∈[0,1]，k=0,1,2…,N-1，这里N=2n。为生成H矩阵，定义整数k，即k=2p+q-1(这里0≤p≤n-1,p=0时，q=0或1，p≠0时，0≤q≤2p)。可得哈尔基函数为：]1,0[1)()(000zNzhzh(7.1.16)《数字图像处理A》7.1.3哈尔变换且]1,0[,02/)/25.0(22/)5.0()/21(21)()(22zotherwiseqzq-qzq-NzhzhpppppppqkN×N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素hi(z)，其中z=0/N，1/N，2/N，…，(N-1)/N。(7.1.17)《数字图像处理A》7.1.3哈尔变换2×2哈尔变换矩阵H41111212H(7.1.18)它的基函数仅定义了2抽头FIR滤波器族，可满足表7.1中第一行第一列的QMF滤波器原型的规范。相应QMF分析滤波器h0(n)和h1(n)的系数分别是矩阵H2的第一行和第二行的元素。《数字图像处理A》7.1.3哈尔变换例如，N=4时，k，q和p值如下：4×4哈尔变换矩阵H42200002211121111414H(7.1.19)《数字图像处理A》7.1.3哈尔变换•例7.3离散小波变换的哈尔函数64×64128×128256×256图7.10(a)用H2哈尔基函数的离散小波变换，并显示了局部直方图的变化；（b）~（d）几种不同的近似《数字图像处理A》主要内容7.1背景7.2多分辨率展开级数展开尺度函数小波函数7.3一维小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包《数字图像处理A》7.2多分辨率展开图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学理论多分辨率分析中扮演了重要角色。在多分辨率分析(MRA)中，尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，相邻两近似值之间的近似度相差2倍。被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之间的差异进行编码。《数字图像处理A》7.2.1级数展开信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合kkkxxf)()((7.2.1)展开