3.2两因素方差分析

第三节两因素试验的方差分析考查两个因素对试验指标的影响情况3.1交叉分组资料（cross－overclassification）的方差分析设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因素分b个水平。所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因素的每个水平都要搭配，两者交叉搭配形成ab个水平组合即处理，试验因素A、B在试验中处于平等地位。如果将试验单元分成ab个组，每组随机接受一种处理，因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。分无重复观测值和重复观测值两种类型。对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表所示。3.1.1两因素无重复试验资料的方差分析表两因素无重复观测值的试验数据模式注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5），xij为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。aibjijaiijjaiijjbjijibjijixxxaxxxxbxxx11..1.1.1.1.,1,,1,abxxaibjij/..11A的第i水平b个观测值之和A的第i水平b个观测值的平均数B的第j水平a个观测值之和B的第j水平a个观测值的平均数ab个观测值的总和ab个观测值的总平均数两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：式中，μ为总平均数；),,2,1;,,2,1(bjaixijjiij(5-26)αi，βj分别为Ai、Bj的效应；αi=μi-μ，βj=μj-μ，μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，且Σαi=0，Σβj=0；εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平有a次重复，每个观测值同时受到A、B两因素及随机误差的作用。因此全部ab个观测值的总变异可以分解为A因素水平间变异、B因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。离差平方和与自由度的分解如下：eBATeBATdfdfdfdfSSSSSSSS矫正数总平方和A因素离差平方和B因素离差平方和abxC/2..CxxxSSaibjijaibjijT11221..1)(CxbxxbSSaiiaiiA12.2..1.1)(CxaxxaSSbjjbjjB12.2..1.1)(各项离差平方和与自由度的计算公式为:误差平方和SSe=SST-SSA-SSB总自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1误差自由度dfe=dfT-dfA–dfB=(a-1)(b-1)相应均方为eeeBBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/【例1】某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度（°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，连续10天的检验分析结果见表6。试分析3名化验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20°T）。化验员B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10xi.xi.A111.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11A311.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3x.j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76表1牛奶酸度测定结果A因素（化验员）有3个水平，即a=3；B因素（天数）有10个水平，即b=10，共有a×b=3×10=30个观测值。8163.4423)103/(30.364/..22abxC1计算各项离差平方和与自由度7591.26C)27.3826.3210.35(3110283.0C)85.12112.12133.121(10112509.278163.4423)94.1278.1171.11(2222.2222.2222CxaSSCxbSSCxSSjBiAijT18922991101213129110314635.07591.260283.02509.27BATeBATBATedfdfdfdfbdfadfabdfSSSSSSSS2列出方差分析表，进行F检验表2资料的方差分析表变异来源SSdfMSF值显著性化验员间0.028320.01420.550日期间26.759192.9732115.240**误差0.4635180.0258合计27.250929结果表明，3个化验员的化验技术没有显著差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。注：F0.01(9,18）=3.603多重比较在两因素无重复观测值试验中，A因素每一水平的重复数恰为B因素的水平数b，故A因素的标准误为；同理，B因素的标准误bMSSexi/.aMSSexj/.对例1分析，a=3，MSe=0.0258。故093.03/0258.0/.aMSSexj根据dfe=18，秩次距k=2，3，…，10，查临界q值，计算最小显著极差LSR，见表3。表3q值与LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.280.3833.614.70.340.4444.005.090.370.4754.285.380.400.5064.495.60.420.5274.675.790.430.5484.825.940.450.5594.966.080.460.57105.076.20.470.58B因素各水平均值多重比较结果见表4测定日期x.jx.j-10.56x.j-10.7511.4411.7012.4312.4412.6812.7613.10B713.583.02**2.832.141.881.151.140.900.820.48B613.102.542.351.661.400.670.660.420.34B1012.762.202.011.321.060.330.320.08B812.682.121.931.240.980.250.24B412.441.881.691.000.740.01B312.431.871.680.990.73B111.701.140.950.26B911.440.880.69B210.750.19B510.56表4不同测定日牛奶酸度多重比较结果（q法）处理均值5%显著水平1%极显著水平B713.58aAB613.10bABB1012.76bcBCB812.68bcBCB412.44cCB312.43cCB111.70dDB911.44dDB210.75eEB510.56eE附表：多重比较结果字母表示结果表明，除B2与B5，B1与B9，B4与B3，B8与B3、B4，B10与B3、B4、B8差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸度均差异极显著或显著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。从牛奶质量要求看，连续10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。在进行两个因素或多个因素的试验时，除了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标的影响情况。通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和微生物活动，保持食品质量有着重要意义。两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况；若两因素间有交互作用，则每个水平组合中只设一个试验单位(观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：(1)在这种情况下，SSe,dfe实际上是A、B两因素交互作用平方和与自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的变异。(2)这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素的显著性，从而增大犯Ⅱ型错误的概率。(3)每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。交互作用交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素所取的水平时，称两因素有交互作用。在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约、互相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来起作用，这种联合作用并不等于各因素单独作用所产生的影响之和，称这种联合作用为交互作用。例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其产量如下：可以看出当施氮肥和不施氮肥时，施以4公斤磷肥后的增产数量是不同的当施磷肥和不施磷肥时，施以6公斤氮肥后的增产数量是不同的若N,P分别起作用时增产为50,30kg。但同时施时其效果并不是50+30=80kg，而是增产560-400=160kg，增加的80公斤则为交互作用的效果。P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110对两因素和多因素等重复试验结果进行分析，可以研究因素的简单效应、主效应和因素间的交互作用（互作效应）。3.1.2交叉分组两因素等重复试验的方差分析三种效应1．简单效应（simpleeffect）是指在某一因素同一个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。三种效应2．主效应（maineffect）是指某一因素各水平间的平均差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有组合的情况。三种效应3.互作效应（interactioneffect）如果某一因素的各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。设A、B两因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组合有n次重复试验，则全试验共有abn个观测值。试验结果的数据模式如表5所示。两因素等重复试验的方差分析表5两因素等重复观测值试验数据模式A因素B因素Ai合计xi..B1B2…BbA1x1jlx111x121…x1b1x112x122…x1b2x1..x113x123…x1b3…………x11nx12n…x1bnx1j.x11.x12.x1b.x1j.x11.x12.x1b.A2………………………………两因素等重复试验数据模式（部分）表5中aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijxxxxxxxx11111111........aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijabnxxanxxbnxxnxx11111111./.../../../每个组合处理n次重复之和B因素第j水平an个数据之和abn个数据总和A因素第i水平bn个数据之和其中，为总平均数；αi为Ai的效应；βj为Bj的效应；(αβ)ij为Ai与Bj的互作效应。),,2,,1;,,2,1;,,2,1()(nlbjaixijlijjiijl(5-32)两因素等重复试验资料的数学模型为:jiijjiijij..)()()()(ijji,,,0)()()(,0,0111111nibjaibjijijijaibjji分别为Ai、Bj、AiBj观测值总体平均数；且3.1.2.1离差平