(完整版)等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第1页共12页等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比*12,nnaqqnnNa0且q2、通项公式：，首项：；公比：11110,0nnnnaaaqqABaqABq1aq推广：nmnmnnnmnmmmaaaaqqqaa3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或,,aAbAab2AabAab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列是等比数列na211nnnaaa4、等比数列的前项和公式：nnS（1）当时，1q1nSna（2）当时，1q11111nnnaqaaqSqq（为常数）11''11nnnaaqAABABAqq,,','ABAB5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列n11(0){}nnnnnnaaqaqqaaa或为常数，（2）等比中项：为等比数列21111(0){}nnnnnnaaaaaa（3）通项公式：为等比数列0{}nnnaABABa6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列*12,nnaqqnnNa0且1{}nnnaqaa7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。*,mnN{}nanmnmaaq（3）若，则。特别的，当时，得*(,,,)mnstmnstNnmstaaaa2mnk注：2nmkaaa12132nnnaaaaaa等差和等比数列比较：等差数列等比数列TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第2页共12页经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列中，,,求.{}na1964aa3720aa11a思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出1aq和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.1aq11a19373a7a11a解析：法一：设此数列公比为，则q8191126371164(1)20(2)aaaaqaaaqaq由(2)得：..........(3)241(1)20aqq∴.10a由(1)得：,∴......(4)421()64aq418aq(3)÷(4)得：，42120582qq∴,解得或422520qq22q212q当时，，；22q12a1011164aaq当时，，.212q132a101111aaq定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnmTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第3页共12页法二：∵,又,193764aaaa3720aa∴、为方程的两实数根，3a7a220640xx∴或41673aa16473aa∵,∴或.23117aaa271131aaa1164a总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】±96法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；∵，又an＞0，∴a45=421894516aaa∴。34445464564aaaa【变式3】已知等比数列，若，，求。{}na1237aaa1238aaana【答案】或；12nna32nna法一：∵，∴，∴2132aaa312328aaaa22a从而解之得，或，13135,4aaaa11a34a14a31a当时，；当时，。11a2q14a12q故或。12nna32nna法二：由等比数列的定义知，21aaq231aaq代入已知得2111211178aaqaqaaqaqTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第4页共12页21331(1)7,8aqqaq211(1)7,(1)2(2)aqqaq将代入（1）得，12aq22520qq解得或2q12q由（2）得或，以下同方法一。112aq1412aq类型二：等比数列的前n项和公式例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.由得，，3692SSS369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q3≠1，故，所以。312q342q举一反三：【变式1】求等比数列的前6项和。111,,,39【答案】；364243∵，，11a13q6n∴。666111331364112324313S【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】；1211219或∵，，则a1=1或a1=9322273aa31(1)113313aqqqq或TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第5页共12页∴.5555191131213121S113913S－或＝＝－【变式3】在等比数列中，，，，求和。{}na166naa21128naa126nSnq【答案】或2，；12q6n∵，∴211nnaaaa1128naa解方程组，得或1112866nnaaaa1642naa1264naa①将代入，得，1642naa11nnaaqSq12q由，解得；11nnaaq6n②将代入，得，1264naa11nnaaqSq2q由，解得。11nnaaq6n∴或2，。12q6n类型三：等比数列的性质例3.等比数列中，若,求.{}na569aa3132310loglog...logaaa解析：∵是等比数列，∴{}na110293847569aaaaaaaaaa∴1032313logloglogaaa553123103563log()log()log910aaaaaa举一反三：【变式1】正项等比数列中，若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________.{}na【答案】100；∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100)而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100。【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为83272________。【答案】216；TheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteacheroflife第6页共12页法一：设这个等比数列为，其公比为，{}naq∵，，∴，183a445127823aaqq48116q294q∴。23362341111aaaaqaqaqaq33389621634法二：设这个等比数列为，公比为，则，，{}naq183a5272a加入的三项分别为，，，2a3a4a由题意，，也成等比数列，∴，故，1a3a5a238273632a36a∴。23234333216aaaaaa类型四：等比数列前n项和公式的性质例4．在等比数列中，已知，，求。{}na48nS260nS3nS思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+……+an,b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an)，b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)易知b1,b2,b3成等比数列，∴，2223112348bbb∴S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：∵，∴，22nnSS1q由已知得121(1)481(1)601nnaqqaqq①②②÷①得，即③514nq14nq③代入①得，1641aq∴。3133(1)164(1)6314nnaqSqTheshortestwaytodomanythingsistoonlyonethingatatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsomethingandSufferingisthemostpowerfulteachero