椭圆综合题总结

椭圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）OAOB121KK0OAOB12120xxyy②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120xxyy0；③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（120KK或12KK）；④“共线问题”（如：AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。（1）直线恒过定点问题1、已知点00(,)Pxy是椭圆22:12xEy上任意一点，直线l的方程为0012xxyy，直线0l过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线0l的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。2、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上，短轴长为22，离心率为22，P是椭圆在第一象限弧上一点，且121PFPF，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭[来源:学科网]圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；3、已知动直线(1)ykx与椭圆22:1553xyC相交于A、B两点,已知点7(,0)3M，求证：MAMB为定值.[4、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy.如图所示，斜率为(0)kk＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm.（Ⅰ）求22mk的最小值；（Ⅱ）若2OGOD∙OE，求证：直线l过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。5、已知直线l与y轴交于点(0,)Pm，与椭圆22:21Cxy交于相异两点A、B，且3APPB，求m的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.6、已知点(4,0)M，(1,0)N，若动点P满足6||MNMPPN．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若181275NANB≤≤，求直线l的斜率的取值范围.[来源:学科网](3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q为椭圆E：221182xy上的一动点，点A的坐标为(3,1)，求APAQ的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A，焦点在x轴上.若右焦点到直线220xy的距离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线(0)ykxmk与椭圆相交于不同的两点,MN.当||||AMAN时，求m的取值范围.9.如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两[来源:学科网ZXXK]点,GH（点G在点,FH之间），且满足FHFG，求的取值范围.10、.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为)0,1(A、)0,1(B，一个顶点为)0,2(H.（1）求椭圆E的标准方程；（2）对于x轴上的点)0,(tP，椭圆E上存在点M，使得MHMP，求t的取值范围.11.已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20xy相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于两点,AB，设P为椭圆上一点，且满足OPtOBOA（O为坐标原点），当PBPA＜253时，求实数t取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上，短轴长为22，离心率为22，P是椭圆在第一象限弧上一点，且121PFPF，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，求△PAB面积的最大值。（2）利用函数求最值，13.如图，DPx轴，点M在DP的延长线上，且||2||DMDP．当点P在圆221xy上运动时。（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点22(0,)1Tty作圆x的切线l交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。14、已知椭圆22:14xGy.过点(,0)m作圆221xy的切线l交椭圆G于A,B两点.将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.选做1、已知A、B、C是椭圆)0(1:2222babyaxm上的三点，其中点A的坐标为)0,32(，BC过椭圆m的中心，且||2||,0ACBCBCAC．（1）求椭圆m的方程；（2）过点),0(tM的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||||DQDP.求实数t的取值范围．2.已知圆M：222()()xmynr及定点(1,0)N，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP＝2NQ，GQ·NP＝0．（1）若1,0,4mnr，求点G的轨迹C的方程；（2）若动圆M和（1）中所求轨迹C相交于不同两点,AB，是否存在一组正实数,,mnr，使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l的方程为0000()2()xyyyxx，即000020yxxyxy设)0,1(M关于直线0l的对称点N的坐标为(,)Nmn则0000001212022xnmyxnmyxy，解得320002043200002002344424482(4)xxxmxxxxxnyx直线PN的斜率为4320000032000042882(34)nyxxxxkmxyxx从而直线PN的方程为：432000000320004288()2(34)xxxxyyxxyxx即3200043200002(34)14288yxxxyxxxx从而直线PN恒过定点(1,0)G2、解：（1）设椭圆方程为22221yxab，由题意可得2,2,22abc，所以椭圆的方程为22142yx则12(0,2),(0,2)FF，设0000(,)(0,0)Pxyxy则100200(,2),(,2),PFxyPFxy221200(2)1PFPFxy[来源:学_科_网Z_X_X_K]点00(,)Pxy在曲线上，则22001.24xy220042yx从而22004(2)12yy，得02y，则点P的坐标为(1,2)。（2）由（1）知1//PFx轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为(0)kk，则PB的直线方程为：2(1)ykx由222(1)124ykxxy得222(2)2(2)(2)40kxkkxk设(,),BBBxy则2222(2)222122Bkkkkxkk同理可得222222Akkxk，则2422ABkxxk28(1)(1)2ABABkyykxkxk所以直线AB的斜率2ABABAByykxx为定值。3、解:将(1)ykx代入221553xy中得2222(13)6350kxkxk4222364(31)(35)48200kkkk，2122631kxxk，21223531kxxk所以112212127777(,)(,)()()3333MAMBxyxyxxyy2121277()()(1)(1)33xxkxx2221212749(1)()()39kxxkxxk2222222357649(1)()()313319kkkkkkk4222316549319kkkk49。4、解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)lykxnn,由2213ykxnxy消y得:222(13)6330kxknxn,2222364(13)3(1)knkn×2212(31)0kn设A11(,)xy、B22(,)xy,AB的中点E00(,)xy,则由韦达定理得:[来源:学科网]12xx=2613knk,即02313knxk,002313knykxnknk213nk,所以中点E的坐标为23(,13knk2)13nk,因为O、E、D三点在同一直线上，所以OEODkK，即133mk，解得1mk，所以22mk=2212kk,当且仅当1k时取等号,即22mk的最小值为2.（Ⅱ）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为3myx,所以由22313myxxy得交点G的纵坐标为223Gmym,又因为213Enyk,Dym,且2OGOD∙OE，所以222313mnmmk,又由（Ⅰ）知:1mk,所以解得kn,所以直线l的方程为:lykxk,即有:(1)lykx,令1x得,y=0,与实数k无关,5、解：（1）当直线斜率不存在时：12m