定积分的简单应用(教学设计)

第1页共5页§1.7定积分的简单应用教学目标1.会利用定积分的几何意义求定积分的值，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解;2.会用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积;3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用;重难点：求多条曲线围成的分割型图形的面积，将几何问题和物理问题转化为定积分问题一、复习回顾1.微积分的基本思想2.微积分基本定理--------牛顿－莱布尼茨公式利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是_____________3.定积分的几何意义：____________4.微积分的性质(1)______________________(2)______________________(3)______________________(4)______________________思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值.图1图2_______________________________________________图3图4_______________________________________________第2页共5页归纳定积分()bafxdx的几何意义它是介于x轴、函数()fx的图象及________________________之间的各部分面积的_________(在x轴上面的____________，在x轴下面的____________).二、自主探究探究一：定积分的计算例1．(1)若0,a则220aaxdx____________(2)120(1(1))xxdx____________练习：(1)sinxdx______(2)22cosxdx________(3)20cosxdx_________探究二：求面积例2.计算由曲线2yx，直线4yx以及x轴所围成的图形的面积.练习1（课本变式题）：计算由曲线22yx，直线4yx以及x轴所围成的图形的面积.第3页共5页练习2.计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积.例3．已知抛物线22yxx及直线0,,0xxay围成的平面图形的面积为43,求a的值.探究三：物理学方面的应用微积分在物理方面的应用十分广泛，中学阶段主要掌握求物体的路程（位移）、变力作功等问题例1.一物体的运动速度随时间的变化关系为32()2532,Vtttt则该物体在0至3秒,的位移和路程分别为多少？第4页共5页例2.如图，在弹性限度内，倔强系数为k,将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L米处，求克服弹力所作的功．练习：一物体从0至1小时内运动的速度（千米/小时）随时间t（小时）的关系式为12)(2tttV（1）求这1个小时该物体所走的路程S；（2）问该物体从开始运动经历多长的时间走过一半路程.三、课堂小结求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算.四、训练案1．求下列曲线所围成的图形的面积:(1)2,23;yxyx(2),,0;xyeyex(3)求由抛物线28(0)yxy与直线60xy及0y所围成的图形的面积.第5页共5页2．抛物线24yx与直线3yx的两个交点为,AB，点P在抛物弧上从A向B运动(1)求使△PAB的面积为最大时P点的坐标(,)ab;(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线xa分为面积相等的两部分.3.求)0(321lim1pnnpppppn