立体几何中角的专题

1ABCSEF异面直线所成的角、线面角和二面角专题复习【预备知识】1、异面直线所称的角：θ∈（】2、线面角：θ∈【】3、二面角：θ∈【】4、（1）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果，那么它也和这条斜线垂直。（2）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果，那么它也和这条斜线的射影垂直.5、面积射影定理：已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有coscoscos21。证明：在平面的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B奎屯王新敞新疆连接OB，则OB⊥b.在直角△AOP中，APAO1cos.在直角△ABC中，AOAB2cos.在直角△ABP中，APABcos.所以coscoscos21APABAOABAPAO所以coscoscos21成立奎屯王新敞新疆6、余弦定理：（1）定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：。（2）常见变形：即：。【经典例题】例1如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）（A）90°（B）45°（C）60°（D）30°aPOA21cbaPOAB2ABCDD1C1B1A1MNABCHSM例2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）（A）23（B）1010（C）53（D）54例3已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（）（A）34（B）54（C）74(D)34例4如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。例5如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，⑴求证：A1C⊥平面BDE；⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。BCBCA111AD3例6（2013年广东理）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC、AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点。将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱锥BCDEA，其中3OA.（1）求证：OA平面BCDE；（2）求二面角BCDA的平面角的余弦值。CABCBDEA'DEO例7如图，已知正三棱柱111ABCABC的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱1CC上的点，且12CNCN＝。（Ⅰ）求二面角1BAMN的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点1B到平面AMN的距离。4【经典习题】1、（2014年广东理）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值。ABCDEFP52、（2012年广东理）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.3、（2011年广东理）如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.64、（2010年广东理）如图5,弧ABC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足5FBFDa,6EFa.(1)证明：EBFD；(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得23FQFE,23FRFB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.图5QFCBADER