信号与系统PPTcp7-1-离散时间信号与系统的频域分析-胡

第七章离散时间信号与系统的频域分析电气工程学院第七章离散时间信号与系统的频域分析连续信号与系统的分析：时域（第1章、2章）变换域频域（第3章、4章）复频域（第5章）离散时间信号与系统分析：时域（第6章）频域（第7章）变换域复频域（第8章）电气工程学院第七章离散时间信号与系统的频域分析本章介绍主要内容：离散时间信号和系统的频域分析即离散傅立叶分析信号的频域分析包括：周期序列的离散时间傅立叶级数（DFS）非周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）离散傅立叶变换和反变换（DFT）快速算法即快速傅立叶变换（FFT）快速傅立叶反变换（IFFT）离散系统的频域分析方法电气工程学院第七章离散时间信号与系统的频域分析7.1线性移不变系统对复指数输入序列的响应*7.2周期序列的离散时间傅立叶级数*7.3非周期序列的离散时间傅立叶变换7.4典型非周期序列的离散时间傅立叶变换*7.5周期序列的离散时间傅立叶变换7.6离散时间傅立叶变换的基本性质*7.7离散傅立叶变换：有限长序列的傅立叶分析7.8离散傅立叶变换的性质#7.9分段卷积法：短序列与长序列的线性卷积*7.10利用离散傅立叶变换近似分析连续非周期信号的频谱#7.11快速傅立叶变换（FFT）#7.12快速傅里叶反变换*7.13线性移不变系统的频域分析电气工程学院7.1线性移不变系统对复指数输入序列的响应单位样值响应nmnmmmmynhmxnmhmzzhmzhnnxnzz为任意复数mmHzhmznynzHz——特征函数或特征信号nz——系统特征值、系统函数HzLSI卷积和任意的复指数序列响应)(ny电气工程学院推广：线性移不变系统的任一输入可以表示为一组复指数序列的线性组合，即则线性移不变系统对的响应为7.1线性移不变系统对复指数输入序列的响应nkkkxnazxnxnnkkkkkkynynaHzz本章中考虑的情况njez电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)0jte0002T002,0,1,2,jkTtjktkteek或002T连续时间虚指数信号基波频率基波周期信号集0xtxtkT连续时间周期信号为周期00001220(:11(:2(:(:jtjtjntnktktekteknte＝零次谐波或直流）；＝1次谐波或基波）；＝2次谐波）；；＝n次谐波）等。0T电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)虚指数序列02N2jNne22jnNjnNNee＋kNnxnx类似的，周期序列（N为基波周期）周期为N的周期序列基波频率为电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)以N为周期的周期虚指数序列也可以构成一个序列集02,0,1,2,jknjknNkneek或kt•中具有无穷多个互不相同(对k而言)的谐波信号，与虚指数序列集的情况有所不同，虚指数序列集是周期相同的。类似：02N周期的序列周期N基波频率•序列集中每一个序列的频率均为基波频率的整数倍，因而各个序列的频率之间构成谐波关系。说明：电气工程学院DFS为一有限项级数,即任一周期为N的周期序列，都可以分解为N项独立的虚指数序列的线性组合。7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)7.2.1离散时间傅立叶级数展开式离散时间信号的傅立叶级数分析中，一个周期为N的周期序列可以用中所有独立的N个虚指数序列的线性组合表示，即Nxnkn2,jkNnNNkNkNkNxnXknXkenNxnNXk2,jknNekN周期序列DFSNxnDFS的系数，也称为的频谱系数.tjnnenXtx00比较，连续周期信号的傅里叶级数展开电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)7.2.2傅立叶级数的系数10,11,11NnNnNqqqqq（7.14）2jkNqe0,,2,kNN21jkNe21220220,,2,110,11NjknjkNNjkNnjkjkNNNkNNeeekee其余值，注意到在2,0,,2,0jknNnNNkNNek，其余值一个重要式子的证明周期序列求和与起点无关几何级数电气工程学院离散序列的直流基波二次谐波N-1高次谐波在区间上构成一个正交序列集，正交性可以表示为：7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)在几何级数求和公式：令，注意到在时，（7.15）knnN2,,0,1,2,0,,0,1,2,ljklnNknNnNNklmNmnneklmNm可知：20jnNe2jnNe22jnNe21jNnNe，正交电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)同乘以在一个周期内对n求和2jmnNe－2222=jmnjmnjknNNNNNnNnNkNjkmnNNkNnNxneeXkeXke－－交换求和次序（7.18）mkmk21jkNnNNnNXkxneN－分析公式2,jkNnNNkNkNkNxnXknXken内和式为零内和式为N电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)2,jkNnNNkNkNkNxnXknXken周期序列DFS21jkNnNNnNXkxneN－分析公式DFS00001tTjnttXnxtedtT比较tjnnenXtx00电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)7.2.3展开式系数的性质NXkDFS的系数有与连续傅立叶级数系数相似的性质，两者之间的根本区别在于具有周期性。（1）若是一个周期为的周期序列，则也是一个周期为N的周期序列（2）若是实周期序列时，则具有共轭对称性（3）的模和相角分别是k的偶函数和奇函数，的实部和虚部分别是k的偶函数和奇函数。NXkNXknXNxnNNXkNNXkNXkNxnNXkNNXkXk2211jkNnjkNnNNNNnNnNXkxnexneXkNNNXkNXk电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)例：求序列的频谱系数。（7.7）因此，0sinxnn解：（1）对于正弦序列来说，要成为周期序列,02应为N221122jNnjNnxneejj112,112,0,1NNNXjXjXkk2,jkNnNNkNkNkNxnXknXken对比K=1K=-1112,112,NNXNjXNj0,1NXNkk电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)（7.7）因此，周期性正弦序列在长度为N的任一周期内仅有两个非零的系数。0sinxnn电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)（7.7）因此，02PN(2)，且P、N无公约数，是周期序列xn221122jPNnjPNnxneejj12,12,0,NNNXPjXPjXkkP2,jkNnNNkNkNkNxnXknXken（7.7）因此，电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)（7.7）因此，电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)（7.7）因此，11112211NNjknjknNNNNnNnNXkxneeNN11212122122121sin21,0,2,1sin21,0,2,NNjkjkjkNNNjkjkjkNNNNkNeeekNNNkNNeeeNkNNN，，1122121=1jkNjkNNNjkNeeNe1221121,111,1nnnnnnaaaaanna利用电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)（7.7）因此，电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)110sin21/2211sin/2NNNN101001sin210212221NkNNkNkNN第一个零点位置峰值为2kN电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)（7.7）因此，随着N的增大，谱线的幅度和间隔()都减小脉冲宽度N1越大，则频谱包络的主瓣宽度()越窄N21221N与连续周期矩形脉冲的结论类似电气工程学院2-T1T1E0……2txt连续、周期非周期、离散离散、周期周期、离散电气工程学院7.2周期序列的离散时间傅立叶级数(DFS)7.2.4离散时间傅立叶级数的收敛性若用有限项级数来近似表示原信号序列，DFS不存在收敛问题，也不存在吉布斯现象，这也是它和连续时间傅立叶级数之间的一个差别NxnN为周期的离散时间序列N个序列值是独立的信号的一个周期DFS的系数也是以N为周期的，它有N个独立的值NXkNXk序列在时域中N个独立的值频域中N个独立的值对应变换原离散时间信号可以用复指数序列线性组合表示，而系数就是这N个独立值电气工程学院周期性矩形脉冲序列的周期N频谱谱线的间隔时域中周期序列非周期序列频域中离散频谱连续频谱，谱线的幅度也将趋于无穷小量DFS不适宜表述离散非周期信号，这种情况与连续时间信号的完全相似。采用与连续时间情况下对周期信号的傅立叶级数令周期趋于无穷大，从而引出非周期信号的傅立叶变换完全相同的方法。由周期序列的DFS来建立非周期离散时间信号的傅立叶变换表示式，称之为离散时间傅立叶变换（DTFT）。7.3非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)2NN电气工程学院7.3非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)7.3.1非周期序列的离散时间傅里叶变换周期延拓xnNxn11,0,NxnnNxnnN随着周期N的增大，就会在一个更长的时间段内与一致当时，在整个时间范围内或者说对于任意n值，NrxnxnrNNxnxnNNxnxn周期序列N电气工程学院在区间所在的这个周期内，有,将求和区间就选在该周期内7.3非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)周期序列的离散傅里叶级数为Nxn2jkNnNNkNxnXke21jkNnNNnNXkxneN2nNNxnxnN112211NjkNnjkNnNNnNnXkxnexneNN＝2jkNnNnNXkxneN02N